Đề HSG Toán 11 cấp trường năm 2019 – 2020 trường Nguyễn Đăng Đạo – Bắc Ninh

Mô tả

S GIÁO D C & ĐÀO T O B C NINH TRƯỜ NG THPT NGUY O P TRƯ Năm họ c: 2019 – 2020 MÔN THI: TOÁN, L P 11 Th i gian làm bài: 150 phút ( không k th i gian phát đ ) Câu 1. (2,0 điể m) Cho parabol ( ) 2 : 2 P y x x = và đường thẳ ng : 2 d y x m = + . Tìm m d c t ( ) P t t , A B sao cho tam giác OAB vuông t i O ( O là g c t ). Câu 2. (4,0 điể m) 1) Gi 3 sin 2 cos 2 3sin 3 cos 1 0 2 cos 3 x x x x x + = + 2) Gi phương trình: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 1 1 1 3 1 2 4 4 2 9 2 x x x y y y x y y x + = + + + = + + Câu 3. (4 ,0 điể m) 1) Chứng minh rằng phương trình 2 4 3 2 2 2 0 m x x m m + = luôn có nghiệm v i m 2) Cho dãy số ( ) n u thỏa mãn 1 * 1 1 4 4 , 4 n n u u n u + = = . Tính giới hạ n ( ) lim n u . Câu 4. (2 ,0 điể m) Trong mặt phẳ ng t Oxy , cho tam giác ABC có ( ) 2;3 A . Các điểm ( ) 6;6 I , ( ) 4;5 J l t là tâm đường tròn ngoạ i ti i ti ABC . Tìm tọa độ các đỉnh B và C biế t hoành độ B l C . Câu 5. (5 ,0 điể m) 1) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhậ t, , AB a AD b = = , c SA vuông góc v a) G i I , J l a SB và CD . Bi ng IJ t ng ( ) ABCD mộ t góc 0 60 . Tính độ dài đoạn thẳ ng SA . b) ( ) là mặt phẳng thay đổ i qua AB và c SC , SD l t t i M và N . G i K là giao điểm c ng AN và BM . Chứng minh rằng biểu thứ c AB BC T MN SK = có giá trị không đổ i. 2) Cho tứ diệ n ABCD có 2 , 2 AD BC a AC BD b = = = = , 2 . 4 AB CD c = . G i M l không gian. Chứng minh rằng biểu thứ c ( ) ( ) 2 2 2 2 8 H MA MB MC MD a b c = + + + + + . Câu 6. (3,0 điể m) 1) Có hai cái hộp đự ng t t c 15 viên bi, các viên bi chỉ có 2 màu đen và trắ ng. L mỗ i hộp 1 viên bi. Biế t s bi ở hộp 1 nhiều hơn hộp 2, số bi đen ở hộp 1 nhiều hơn số bi đen ở hộp 2 và xác suấ t l 5 28 . Tính xác suất để l ng. 2) Cho các số thự c , , x y z thỏa mãn , , 1 x y z và ( ) 2 2 2 3 2 x y z x y z xy + + = + + + . Tìm giá trị nhỏ nhấ t c c: ( ) 2 2 2 x x P z x x y x = + + + + . .............. H t .............. (Chú ý: Giám th coi thi không gi i thích gì thêm)S GIÁO D C & ĐÀO T O B C NINH TRƯỜ NG THPT NGUY O P TRƯ Năm họ c: 2019 – 2020 MÔN THI: TOÁN, L P 11 Câu N i dung m Câu 1 2,0 Phương trình hoành đ giáo đi m: ( ) 2 2 2 2 4 0 1 x x x m x x m = + = ng d c t ( ) P t t A , B khi và chỉ khi pt(1) có 2 nghiệm phân biệ t 4 0 4 m m + > > − 0,25 G i ( ) ( ) 1 1 2 2 ; 2 , ; 2 A x x m B x x m + + ( 1 2 , x x là các nghi m c a pt(1)) Theo Định lý Vi - et: 1 2 1 2 4 x x x x m + = = − 0,5 Vì OAB vuông t i O . 0 OA OB = ( )( ) 1 2 1 2 2 2 0 x x x m x m + + + = ( ) 2 1 2 1 2 5 2 0 x x m x x m + + + = 2 0 3 0 3 m m m m = + = = − 0,5 +) Vớ i 0 m = , phương trình (1) trở thành: ( ) 2 0 4 0 0;0 4 x x x A O x = = = (Loạ i) +) Vớ i 3 m = − , phương trình (1) trở thành: ( ) ( ) 2 1 1; 1 4 3 0 3 3;3 x A x x x B = + = = (t/m) 0,5 K t lu n: V y 3 m = − 0,25 Câu 2.1 2,0 u ki n: 3 5 cos 2 2 6 x x k = − + 0,25 Phương trình tương đương: ( ) ( ) 2 3 cos 2sin 1 2sin 3sin 2 0 x x x x + + = ( ) ( )( ) 3 cos 2sin 1 2sin 1 sin 2 0 x x x x + + = ( ) ( ) 2sin 1 3 cos sin 2 0 x x x + + = 0,75 1 sin 2 cos 1 6 x x = = − ( ) 2 6 5 2 6 7 2 6 x k x k k x k = + = + = + 0,5