Đề KSCL đội tuyển HSG Toán 11 năm 2018 – 2019 trường Yên Lạc 2 – Vĩnh Phúc

Mô tả

S GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯ NG THPT YÊN L C 2 KSCL Đ I TUY N H C SINH GI I KH I 11 MÔN: TOÁN NĂM H C 201 8 - 201 9 Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian phát đ thi g m: 01 trang Câu 1 (2,0 điể m). a) Tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s : cos 2 sin 3 . 2 cos sin 4 x x y x x b) Gi cos 2 (1 2 cos )(sin cos ) 0 x x x x Câu 2 (1,0 điể m). Cho tam giác ABC có , , BC a AB c AC b . Bi t góc 0 90 BAC và 2 , , 3 a b c theo th t t o thành c p s nhân. Tính s , . B C Câu 3 (1,0 điể m). Cho n là m t s nguyên dương. Gọ i 3 3 n a là h s c a 3 3 n x trong khai tri n thành đa thứ c c a 2 ( 1) ( 2) n n x x . Tìm n sao cho 3 3 26 . n a n Câu 4 (1,0 điể m). Cho các ch s 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7 . T 8 ch s trên l c bao nhiêu s t nhiên có 8 ch s t khác nhau sao cho t ng 4 ch s u b ng t ng 4 ch s cu i. Câu 5 (1,0 điể m). Cho dãy s ( ) n u th a mãn: 1 1 1 2019 1 2019 n n n n n u u u . Tìm công th c s h ng t ng quát và tính lim . n u Câu 6 (2 ,0 m). Cho hình chóp . S ABCD có ABCD là hình thang có 0 2 , , 60 AD a AB BC CD a BAD , SA vuông góc v 3 SA a . M và I là hai điể m th a mãn 3 0, 4 3 0 MB MS IS ID . M t ph ng ( ) AMI c t SC t i . N a) Ch ng th ng SD vuông góc v i m t ph ng ( ). AMI b) Ch ng minh 0 0 90 ; 90 . ANI AMI c) Tính di n tích c a thi t di n t o b i m t ph ng ( ) AMI và hình chóp . . S ABCD Câu 7 (1 ,0 điể m). Cho t di n ABCD , g i G là tr ng tâm tam giác , ' BCD G là trung điể m c a . AG M t m t ph ng ( ) ' G c t các c nh , , AB AC AD l t t i ', ', '. B C D Tính . ' ' ' AB AC AD AB AC AD Câu 8 (1, 0 điể m). Cho n s 1 2 3 , , ,..., [0;1] n a a a a . Ch ng minh r ng: 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 (1 ... ) 4( ... ). n n a a a a a a a a -------------H t----------- Thí sinh không đượ c s d ng tài li u. Cán b coi thi không gi i thích gì thêm. H và tên thí sinh:..........................................................; Số báo danh........................S GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯ NG THPT YÊN L C 2 I TUY N H C SINH GI I KH I 11 MÔN: TOÁN NĂM H C 201 8 - 201 9 I. LƯU Ý CHUNG: - Hướ ng d n ch m ch trình bày m t cách gi i v i nh n ph i có. Khi ch m bài h c sinh làm theo cách khác n m t - n 0,25 và không làm tròn. - V i bài hình h c n u thí sinh không v hình ph ng v i ph II. ĐÁP ÁN: Câu N i dung trình bày m 1 (2,0 đi m) a.(1,0 đi m) . G 0 y là m cos 2 sin 3 . 2 cos sin 4 x x y x x Khi đó phương trình 0 cos 2 sin 3 2 cos sin 4 x x y x x ph Ta có phương trình 0 0 0 cos 2 sin 3 ( 2)sin (1 2 )cos 4 3 (1) 2 cos sin 4 x x y y x y x y x x 0,5 Phương trình (1) có nghi 2 2 2 2 0 0 0 0 0 2 ( 2) (1 2 ) (4 3) 11 24 4 0 2 11 o y y y y y y 0,25 V 2 max 2, min . 11 y y 0, 2 5 b.(1,0 đi m) Phương trình 2 2 (cos sin ) (1 2 cos )(sin cos ) 0 (cos sin )(cos sin ) (1 2 cos )(sin cos ) 0 (cos sin )(sin cos 1) 0 x x x x x x x x x x x x x x x x cos sin 0 sin cos 1 0 x x x x 0, 5 +) V cos sin 0 tan 1 4 x x x x k . 0 , 2 5 +) V sin cos 1 0 2 sin(x ) 1 2 ; 2 . 4 2 x x x k x k V y phương trình có 3 h 0,25 2 (1,0 đi m) Ta có: 2 2 3 b ac . Do tam giác ABC vuông ta có 0,25