Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 11 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT Bắc Ninh

Mô tả

Câu 1. (2,0 m) Cho hàm s 1 2 3 y m x m có đồ th là đườ ng th ng d . Tìm m ng th ng d c t tr c , Ox Oy t m A và B sao cho tam giác OAB cân. Câu 2. (4,5 m) 1) Gi 2 2 3 4 sin 3 cos 2 1 2 cos 2 4 0 2 c 3 1 os x x x x . 2) Gi i h phương trình 3 2 3 3 2 3 2 2 3 5 2 5 3 5 2 5 x xy x y y x y x x y x y . Câu 3. (4,0 m) 1) Tìm a 2 3 1 3 khi 1 1 2 khi 1 4 x x x x f x a x x liên tục tại điểm 1 x . 2) Cho dãy s n u xác đị nh b i 1 1 2 1 2 2019; 2020; , 2, 3 n n n u u u u u n n . Tính lim n u . Câu 4. (2,5 m) Trong m t ph ng v i h t Oxy , cho hình vuông ABCD có tâm I . Trung điể m c nh AB là (0; 3) M , trung điểm đoạ n CI là (1; 0) J . Tìm t các đỉ nh c a hình vuông, bi nh D thu ng th ng : 1 0 x y . Câu 5. (4,0 m) 1) Cho hình chóp . S ABCD , có đáy ABCD là hình ch nh t v i 3, AB a BC a và 2 SA SB SC SD a . G i K là hình chi u vuông góc c a B trên AC và H là hình chi u vuông góc c a K trên SA . a) Tính độ dài đoạ n HK theo . a b) G i I là giao điể m c ng th ng , HK SO . M t ph ng di độ ng, luôn đi qua I và c t các đoạ n th ng , , , SA SB SC SD l t t i , , , A B C D . Tìm giá tr nh nh t c a . . . P SA SB SC SD . 2) Cho t di u ABCD có đườ ng cao AH . M t ph ng P ch a AH c t ba c nh , , BC CD BD l t t i , , M N P ; g i ; ; là góc h p b i ; ; AM AN AP v i m t ph ng BCD . Ch ng minh r ng 2 2 2 tan tan tan 12 . Câu 6. (3,0 m) 1) Cho tam th c 2 f x x bx c . Ch ng minh r ng n f x x có hai nghi m phân bi t và 2 2 3 4 b b c thì phương trình f f x x có b n nghi m phân bi t. 2) Cho , , a b c là các s th i th a mãn 2 ( ) a b c ab . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c 2 2 2 2 ab c c P a b a b c a b . 3) L p 11 Toán có 34 h c sinh tham gia ki ch i tuy n d thi h c sinh gi i c p t nh . Đề ki m tra g m 5 bài toán. Bi t r ng m i bài toán thì có ít nh t 19 h c sinh gi c. Ch ng minh r ng có 2 h c sinh sao cho m c m t trong hai h c sinh này gi c. ----------------- H t ----------------- H và tên thí sinh :....................................................... S báo danh ............................. UBND T NH B C NINH S GIÁO D O (Đ thi có 01 trang) THI CH P T NĂM HỌ C 2018 – 2019 Môn thi : T oán – L p 11 Th i gian làm bài : 150 phút (không k th ) CHÍNH TH CUBND T NH B C NINH S GIÁO D O HƯ THI CHỌ N H C SINH GI I C NH NĂM HỌ C 2018 - 2019 Môn : T oán – L p 11 Câu Lời giải sơ lược 1. (2,0 Ta có d c t tr c Ox t m 2 3 ; 0 1 m A m (điề u ki n 1 m ) d c t tr c Oy t m 0; 2 3 B m 0,5 Khi đó OAB vuông t i O nên OAB cân t i O 2 3 2 3 1 m OA OB m m 0,5 3 2 2 3 0 2 1 1 0 m m m m m . 0,5 V i 3 2 m ta có ba điể m , , A B O trùng nhau (Lo ng h p còn l i th a mãn. V y 0; 2 m m là các giá tr c n tìm. 0,5 Chú ý: + H c sinh thi u ki n 1 m tr 0,25 điể m. + N u h c sinh thi u d u tr tuy i bước 2, mà làm đúng các bước trên và tìm ra đượ c 2 m cho 1,25 điể m. + N u h c sinh thi u d u tr tuy i bước 2, mà làm đúng các bước trên và tìm ra đượ c 3 2; 2 m m cho 1,0 điể m . CÁCH 2: H c sinh có th gi i theo cách ng ( v m t ) Vì d c t tr c , Ox Oy l t t i , A B sao cho OAB vuông cân t i O nên d có h s góc k , v i tan 45 1 1 tan 135 k k k k Mặ t khác theo gi thi t d có h s góc 1 k m . Do đó 1 1 0 1 0 2 m m m m . 2 .1 ( 2, 25 u ki n: 1 cos 3 2 x 0,25 Ta có: phương trình đã cho tương đương vớ i 2 2 3 4 sin 3 cos 2 1 2 cos 2 4 x x x 2 2 3 cos 2 2 sin 2 cos co 2 3 cos 2 si 2 s n x x x x x x 0,75 cos 2 cos 6 x x 5 2 18 3 7 2 6 k k k x x 0,75