Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 10 THPT năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Hải Dương

Mô tả

S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O H I DƯƠNG K THI CH N H C SINH GI I T NH L P 10 THPT NĂM H C 201 7 - 2018 MÔN THI: TOÁN Th i gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 04 / 0 4/2018 ( thi g m 01 trang ) Câu I (2,0 1) Tìm tất cả các giá trị của tham số m 2 2 6 4x 2018 ( 1) 2( 1) 4 x y m x m x có tập xác . 2) Cho hai hàm số 2 2 1 2 y x m x m và 2 3 y x . Tìm m nhau tại hai điểm A và B phân biệt sao cho 2 2 OA OB nhỏ nhất (trong đó O là gốc tọa độ) . Câu II (3,0 điểm) 1) Giải phương trình 3 5 3 5 4 2 7 x x x 2) Giải bất phương trình 2 2 11 19 19 6 2 2 1 x x x x x 3) Giải hệ phương trình 2 4 4 2 5 1 2 2 14 0 xy xy y y y xy x y x y Câu III (3,0 điểm) 1) Cho tam giác ABC có 6; 7; 5 AB BC CA .Gọi M là AB sao cho 2 AM MB và N là điểm thuộc AC sao cho AN k AC ( k ).Tìm k sao cho CM vuông góc với đường thẳng BN . 2) Cho tam giác ABC có , , BC a CA b AB c và p là nửa chu vi của tam giác. Gọi I là tâm 2 2 2 ( ) ( ) ( ) 9 2 c p a a p b b p c IA IB IC . Chứng minh rằng tam giác ABC 3) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB là 2 1 0 x y . Biết phương trình đường thẳng BD là 7 14 0 x y và AC (2,1) M .Tìm toạ độ các đỉnh của hình chữ nhật. Câu IV (1,0 điểm) Một xưởng sản xuất có hai máy , sản xuất ra hai loại sản phẩm I và II . Một tấn sản phẩm loại I lãi 2 triệu đồng, một tấn sản phẩm loại II lãi 1,6 triệu đồng. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại I cần máy thứ nhất làm việc trong 3 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất 1 tấn sản phẩm loại II cần máy thứ nhất làm việc trong 1 giờ và máy thứ hai làm việc trong 1 giờ . Mỗi máy không đồng thời làm hai loại sản phẩm cùng lúc. Một ngày máy thứ nhất làm việc không quá 6 giờ, máy thứ hai làm việc không quá 4 giờ. Hỏi một ngày nên sản xuất bao nhiêu tấn mỗi loại sản phẩm để tiền lãi lớn nhất ? Câu V (1,0 điểm) Chứng minh rằng với mọi số thực , , a b c dương thỏa mãn 2 2 2 27 a b c thì: 2 2 2 1 1 1 12 12 12 63 63 63 a b b c c a a b c . ........................................ Hết ...................................... Họ và tên thí sinh: ............................ .................. Số báo danh: ............................. Giám thị coi thi số 1: ..... .......................................... Giám thị coi thi số 2: .................................... S GIÁO D C VÀ ĐÀO T O H I DƯƠNG DỰ THẢO HƯỚNG DẪN CHẤM TỈNH L THPT NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN ( Dự thảo h 6 trang ) Câu N i dung m Câu I.1 1,0 đ Tìm tất cả các giá trị của tham số m 2 2 6 4x 2018 ( 1) 2( 1) 4 x y m x m x Hàm số có tập xác định khi và chỉ khi 2 ( ) ( 1) 2( 1) 4 0, . f x m x m x x 0,25 Với 1, m ta có ( ) 4 0, . f x x Do đó 1 m thỏa mãn. 0,25 Với 1, m 2 1 ( ) 0, ( 1) 4( 1) 0 m f x x m m 0,25 1 ( 1)( 5) 0 m m m 1 5. m Vậy 1 5. m 0,25 Câu I.2 1,0 đ Cho hàm số 2 2 1 2 y x m x m và hàm số 2 3 y x . Tìm m các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm A và B sao cho 2 2 OA OB nhỏ nhất (trong đó O là gốc tọa độ) Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị 2 2 1 2 2 3 x m x m x hay 2 2 2 3 0 x mx m (*) 0,25 Ta có: 2 ' 2 3 0 m m với mọi m nên (*) luôn có hai nghiệm phân biệt hay hai đồ thị luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A,B. 0,25 Gọi , A B x x là hai nghiệm của phư ; 2 3 , ; 2 3 A A B B A x x B x x Ta có ;2 3 , ;2 3 A A B B OA x x OB x x . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 3 5 12 18 5 12 18 10 1 A A B B A B A B A B A B A B OA OB x x x x x x x x x x x x x x 0,25 Theo định lí Vi-et ta có 2 , 2 3 A B A B x x m x x m Khi đó (1) trở thành 2 2 2 20 44 48 OA OB m m 2 11 119 20( ) 10 5 m Tìm đư 2 2 OA OB nhỏ nhất bằng 119 5 khi 11 10 m . Vậy 11 10 m là giá trị của m cần tìm. 0,25