Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 11 năm 2014 – 2015 sở GD&ĐT Hà Tĩnh

Mô tả

0 S GIÁO D C VÀ O HÀ T NH CHÍNH TH C K THI CH N H C SINH GI I T NH C P THPT N M H C 2014-2015 MÔN: TOÁN L P 11 Th i gian làm bài: 180 phút ( thi có 01 trang, g m 5 câu) Câu 1. a) Gi i ph ng trình: 2cos 4 cos 2 1 3 sin 2 x x x . b) Gi i ph ng trình: 3 2 3 8 10 17 8 24 30 7 x x x x . Câu 2. a) Cho khai tri n 0 1 (1 2 ) ... n n n x a a x a x , v i n là s t nhiên th a mãn 2 3 1 1 2 1 2 3 ... 78 n n n n n n n n n C C C C n C C C . Tìm s l n nh t trong các s 0 1 , ,..., n a a a . b) Cho tam giác ABC th a mãn 0 90 C B A . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c .sin .sin 2 2 2 A B A B P cos . Câu 3. Trong m t ph ng (P) cho n a ng tròn (O) ng kính AC, i m B di ng trên n a ng tròn (O) v i B khác A và C . Trên n a ng th ng Ax vuông góc v i (P) l y i m S sao cho SA AC a . G i H, K l n l t là chân ng cao h t A xu ng SB, SC . a) Ch ng minh r ng tam giác AHK vuông. Tính di n tích tam giác SBC theo a bi t 34 34 a HK . b) Xác nh v trí c a B trên n a ng tròn (O) sao cho t ng di n tích các tam giác SAB và CAB l n nh t. Câu 4. Cho dãy s (x n ) xác nh nh sau: 1 3 x và 3 1 2 2 4 6 n n n n n x x x x x v i 1, 2,... n V i m i s nguyên d ng n , t 2 1 1 4 n n i i y x . Tìm lim n y . Câu 5. Cho x, y, z d ng th a mãn 3 2 6 x y yz zx . Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 2 2 2 1 4 9 1 4 9 P x y z . -------------H T ------------- - Thí sinh không c s d ng tài li u và máy tính c m tay. - Giám th không gi i thích gì thêm. H và tên thí sinh: .................................................S báo danh: ............................1 S GIÁO D C VÀ O HÀ T NH K THI CH N H C SINH GI I T NH C P THPT N M H C 2014 – 2015 MÔN: TOÁN L P 11 H NG D N CH M L u ý: M i cách gi i khác mà n u cho i m t ng ng Câu N i dung i m Câu 1a 3.0 Ph ng trình ng ng v i: 2 2 2 3sin 2 2 3 sin 2 0 cos x x cos x x 0.5 ( 2 3 sin 2 )( 2 3 sin 2 1) 0 cos x x cos x x 0.5 2 3 sin 2 0 (1) 2 3 sin 2 1 (2) cos x x cos x x 0.5 Gi i (1): 1 (1) tan 2 3 x 12 2 x k 0.5 Gi i (2): (2) 1 sin 2 6 2 x 6 2 x k x k 0.5 V y: Nghi m ph ng trình 12 2 x k ; 6 x k ; 2 x k v i k Z 0.5 Câu 1b 2.5 t 2 3 24 30 7 x x y (*) , ta có h : 3 2 3 8 10 17 8 (1) 24 30 7 (2) x x y x x y 0.5 C ng v theo v (1) và (2) ta có: 3 3 (2 2) 8(2 2) 8 x x y y T ph ng trình này rút ra c: 2 2 y x 0.5 Th vào (*) ta c: 3 1 4 3 2 x x (3) 0.25 t x=cost v i 0; t ta c: 1 3 2 cos t Gi i ph ng trình này ta c: 3 5 ; ; 9 9 9 t t t 0,5 Do 3 s 5 7 ; ; 9 9 9 cos cos cos t phân bi t nên ph ng trình (3) có m là: 5 7 ; ; 9 9 9 x cos x cos x cos 0,5 V y ph ng trình có 3 nghi m là: 5 7 ; ; 9 9 9 x cos x cos x cos 0.25 Câu 2a 3.0 Ta có: 2 3 1 1 2 1 2 3 ... 78 n n n n n n n n n C C C C n C C C ( 1) ( 2) ... 1 78 n n n 0.5 2 ( 1) 78 156 0 2 n n n n 12 n 0.5