Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Nghệ An

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN BẢNG A Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 3,0 điểm). a) Tìm tất cả các giá trị nguyên của a 2 A a 4a 2021 là một số chính phương. b) Cho đa thức P x với các hệ số nguyên thỏa mãn P 2019 .P 2020 2021. Chứng minh rằng đa thức P x 2022 không có nghiệm nguyên. Câu 2 ( 6,5 điểm). a) Giải phương trình 2 3 x 5x 2 2 x 1 x 3. b) Giải hệ phương trình 2 2 2 2 3 2 y y x x 1 2 x 1 x y x x . x Câu 3 ( 1,5 điểm). Cho ba số thực không âm a, b,c thỏa mãn ab bc ca 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 b c 3. a P a b c abc Câu 4 ( 6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có D, E, F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba A, B,C của tam giác. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và K là trung điểm của HC. a) Chứng minh rằng 4 điểm E, K, D, F cùng thuộc một đường tròn. b) K song song với BC cắt DF tại M. Trên tia DE lấy điểm P sao cho MAP BAC . Chứng minh rằng AMF AMP S MF S MP (Trong đó AMF AMP S ,S lần lượt là diện tích các tam giác AMF và AMP ) . Câu 5 ( 3,0 điểm). a) Cho hình thoi ABCD có AB a. Gọi 1 2 R , R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng 1 2 R R 2 . a b) Cho 2021 sao cho mỗi đỉnh của đa giác đó chỉ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam giác cân mà các đỉnh đó ............... Hết ............... Họ và tên thí sinh....................................... Số báo danh............ ............ Chú ý: Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi.SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NGHỆ AN KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 9 NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN BẢNG B Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 ( 3,0 điểm). a) Tìm tất cả các cặp số nguyên x; y thỏa mãn 2 2 x 6x 8 y . b) Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n thì 3 n 5n chia hết cho 6. Câu 2 ( 6,5 điểm). a) Giải phương trình x 6 6 x x 1. b) Giải hệ phương trình 3 3 4 2 y x 5x y 5 2 x y . Câu 3 ( 1,5 điểm). Cho các số thực dương x, y, z thỏa mãn điều kiện 2 2 x y z 3xy . Chứng minh rằng 3 3 y 7 . x y x y z x 6 8 z 1 z Câu 4 ( 6,0 điểm). Cho tam giác nhọn ABC có D, E, F lần lượt là chân các đường cao kẻ từ ba A, B,C của tam giác. Gọi H là trực tâm tam giác ABC và K là trung điểm của HC. a) Chứng minh rằng 4 điểm E, K, D, F cùng thuộc một đường tròn. b) K song song với BC cắt DF tại M. Trên tia DE lấy điểm P sao cho MAP BAC . Chứng minh rằng MA là phân giác FMP. Câu 5 ( 3,0 điểm). a) Cho hình thoi ABCD có AB a. Gọi 1 2 R , R lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp của các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng 2 2 2 2 1 1 R 1 R . 4 a b) Cho đa giác đều có 2021 , sao cho mỗi đỉnh của đa giác đó chỉ được tô bằng một trong hai màu xanh hoặc đỏ. Chứng minh rằng tồn tại 3 đỉnh của đa giác đã cho là các đỉnh của một tam giác cân mà các đỉnh đó được tô cùng một màu. ............... Hết ............... Họ và tên thí sinh....................................... Số báo danh............ ............ Chú ý: Thí sinh không được phép sử dụng máy tính bỏ túi.