Đề thi Olympic 27/4 Toán 10 năm 2017 – 2018 sở GD và ĐT Bà Rịa – Vũng Tàu

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU MÔN THI: TOÁN LỚP 10 Ngày thi: 06/03/2018 Th i gian làm bài: 180 phút, không k th i gian giao Câu 1 (6,0 điểm): 1) Giải phương trình 2 3 + 2 = 3 2 x x x x 2) Giải hệ phương trình 3 3 2 2 2 1 2 3 2 2 3 4 x y x y xy y x x y x y x y Câu 2 (4,0điểm): 1) Cho tam giác A BC có diện tích S và bán kính của đường tròn ngoại tiếp R thỏa mãn hệ thức 2 3 3 3 2 = sin sin sin 3 S R A B C . Chứng minh tam giác A BC là tam giác đều. 2) Cho tam giác A BC 3 . Trên các cạnh , , BC CA AB lần lượt lấy các , , N M P sao cho 1, 2, (0 3). BN CM AP x x a) Phân tích véc tơ A N theo hai vectơ , . A B AC b) Tìm giá trị của x A N vuông góc với . P M Câu 3 (2,0 điểm): Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình thang A BCD vuông tại , A D và 2 A D CD AB . Điểm I thuộc đoạn A C sao cho 3 . 4 A I AC Biết điểm (5;3), B D I có phương trình 3 8 0 x y và điểm D có hoành độ dương. Tìm tọa độ điểm . D Câu 4 (3,0 điểm): Cho phương trình 2 2 4 1 3 2 0 x m x m m ( m là tham số). 1) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m 1 2 , x x thỏa mãn 3 3 1 2 18 x x . 2) Tìm tất cả các giá trị nguyên của m nguyên sao cho phương trình đã cho có nghiệm nguyên. Câu 5 (3,0 điểm): Cho 4 số thực dương , , , a b c d thỏa mãn 4 a b c d . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 1 1 1 1 a b c d b c c d d a a b . Câu 6 (2,0 điểm): Cho 2018 số nguyên dương phân biệt và nhỏ hơn 4034. Chứng minh tồn tại 3 số phân biệt trong 2018 số đã cho mà một số bằng tổng hai số kia. ----------------- HẾT ----------------- Họ và tên thí sinh............................................................................ Số báo danh .................................. Chữ ký của giám thị 1 .................................................................... SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH BÀ RỊA – VŨNG TÀU MÔN THI: TOÁN LỚP 10 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Hướng dẫn chấm có 04 trang) Câu Nội dung Câu 1 6,0 1 ) Đk 3 x 2 2 2 3 + 2 = 3 2 3 2 2 5 6 3 2 x x x x x x x x x x 0,5 2 2 2 2 5 3 2 5 6 0 5 6 2 5 6 3 0 x x x x x x x x 2x0,25 2 5 6, t 0. t x x Ta được pt : 2 2 3 0 t t 2x0,25 2 1( 2 3 0 3( ) t l t t t n 2x0,25 2 2 3 5 6 3 5 3 0 5 37 ( ) 2 5 37 ( ) 2 t x x x x x l x n . KL pt có nghiệm là 5 37 2 x 0,5 0,5 3 3 2 2 2 1 (1) 2 3 2 2 3 4 (2) x y x y xy y x x y x y x y 3 3 2 2 2 2 (1) ( 1) 3( 1) 3 ( 1 - y) + 1 0 1 + 1 = 0 x x y y x x xy y y x x xy y Ta có 2 2 + 1 = 0 x xy y vô nghiệm Với y = x + 1 thay vào pt (2) ta được pt: 2 3 1 + 3 4 3 3 x x x x 2 2 2 2 2 2 ( 3 1 - ( 1) ( 3 4 ( 2) 3 3 3 3 3 1 1 5 4 2 1 1 ( ) 3 0 3 1 1 5 4 2 0 1 1 1 3 0 ( : ) 3 3 1 1 5 4 2 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x vn vi x x x x x x x 0,25 0,25 2x0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 2x0,25 0,25 0,25 KL: Hpt có nghiệm là (0; 1), (1; 2). Cầu 2 4điểm 1) Theo định lí sin ta có : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 sin ; sin ;sin 8 8 8 a B c A B C R R R 2x0,25 2x0,25