Đề thi Olympic Toán 7 năm 2017 – 2018 phòng GD&ĐT Kinh Môn – Hải Dương

Mô tả

1 UBND HUYỆN KINH MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MÔN: TOÁN 7 Thời gian làm bài: 150 phút ( Đ Câu 1: (2,0 điểm) a) Tính giá trị của biểu thức : A = 2 x 2 x + 5 với 1 2 x b) Tìm x, biết: 2 2 1 5 x x x Câu 2: (2,0 điểm) a) Cho ba số a, b, c khác 0 thỏa mãn điều kiện: 3 3 3 a b c a b c a b c a b c Tính giá trị biểu thức P = a b b c c a c a b b) Cho biết (x -1).f(x) = (x +4).f(x +8) với mọi x. Chứng minh rằng f(x) có ít nhất bốn nghiệm. Câu 3: (2,0 điểm) a) T×m c ̧c cÆp sè nguyªn (x, y) tháa m·n x - 3y +2xy = 4 b) Chøng minh r»ng kh«ng tån t¹i sè tù nhiªn n ®Ó n 2 + 2018 lμ sè chÝnh ph¬ng. Câu 4: (3,0 điểm) 1) Cho ABC có góc A nhỏ hơn 90 0 . Vẽ ra ngoài tam giác ABC các tam giác vuông cân tại A là ABM và ACN. a) Chứng minh rằng: MC = BN và BN CM; b) Kẻ AH BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. 2) Cho tam giác ABC vuông cân tại B. Điểm M nằm bên trong tam giác sao cho MA: MB: MC = 1: 2: 3. Tính số đo AMB ? Câu 5: (1,0 điểm) Cho 2016 số nguyên dương a 1 , a 2 , a 3 , ...., a 2016 thỏa mãn : 1 2 3 2016 1 1 1 1 ..... 300 a a a a Chứng minh rằng tồn tại ít nhất 2 số trong 2016 số đã cho bằng nhau -------------- Hết ---------------- Họ và tên thí sinh:....................................... SBD:............................................... Giám thị 1:..................................................Giám thị 2:........................................2 UBND HUYỆN KINH MÔN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC : 2017 – 2018 MÔN : TOÁN - LỚP 7 ( Hư : 5 câu, 0 4 trang ) Câu 1 (2,0đ) a. (1,0đ). Vì 1 2 x nên x = 1 2 hoặc x = - 1 2 * Với x = 1 2 thì A = 2.( 1 2 ) 2 1 2 + 5 = 4 0,25 0,25 * Với x = - 1 2 thì A = 2.(- 1 2 ) 2 1 2 ) + 5 = 7 Vậy A = 4 với x = 1 2 và A = 7 với x = - 1 2 . 0,25 0,25 b. (1,0đ). vì 2 1 0 x x nên ta có: 2 2 1 5 x x x => 2 2 1 5 x x x 0,25 => 1 5 x => x + 1 = 5 hoặc x + 1 = - 5 0,25 * Trường hợp 1: x + 1 = 5 => x = 4 0,25 * Trường hợp 2: x + 1 = - 5=> x = - 6 V - 6 ho 0,25 2 (2,0đ) a. (1,0đ). Theo b i ra: 3 3 3 a b c a b c a b c a b c (1) víi a, b, c kh ̧c 0 ta cã => 3 3 3 2 2 2 a b c a b c a b c a b c 0,25 => 3 2 3 2 3 2 a b c a a b c b a b c c a b c => a b c a b c a b c a b c (2) 0,25 + NÕu a+ b + c 0 th× tõ (2) ta cã a = b = c Khi ®ã P = a b b c c a c a b = 2 2 2 2 2 2 6 c a b c a b 0,25 + NÕu a + b + c = 0 th× a + b = - c; b + c = - a; c + a = - b Khi ®ã P = a b b c c a c a b = 1 1 1 3 c a b c a b 0,25 b. (1,0đ). Vì đa thức (x - 1). f (x) = (x +4). f(x +8) đúng với mọi x nên *) Với x = 1 thì ta có: (1 - 1). f(1) = (1 + 4) . f(9) 0. f(1) = 5. f(9) f( 9) = 0 Suy ra x = 9 là 1 nghiệm của đa thức f(x) 0,25