Hướng dẫn giải các dạng toán đạo hàm

Mô tả

CHƯƠNG 5 BÀI 1. A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 Cho hàm số y = f ( x ) xác định trên khoảng ( a ; b ) và x 0 ( a ; b ) . Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) lim x x 0 f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số y = f ( x ) tại điểm x 0 và ký hiệu là f ( x 0 ) (hoặc y ( x 0 ) ), tức là f ( x 0 ) = lim x x 0 f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 . 4 ! x = x x 0 x 0 . y = f ( x ) f ( x 0 ) = f ( x 0 + x ) f ( x 0 ) y ( x 0 ) = lim x 0 y x . 2 QUAN HỆ GIỮA SỰ TỒN TẠI CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Nếu hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x 0 thì nó liên tục tại điểm đó. 4 ! a) Định lí 1 tương đương với khẳng định: Nếu y = f ( x ) gián đoạn tại x 0 thì nó không có đạo hàm tại điểm đó. b) Mệnh đề đảo của Định lí 1 không đúng. Một hàm số liên tục tại một điểm có thể không có đạo hàm tại điểm đó. 3 y = f ( x ) tại điểm x 0 là hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f ( x ) tại điểm M 0 ( x 0 ; f ( x 0 )) . Phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( C ) của hàm số y = f ( x ) tại điểm M 0 ( x 0 ; f ( x 0 )) là y y 0 = f ( x 0 )( x x 0 ) , trong đó y 0 = f ( x 0 ) . 4 a) v ( t ) = s ( t ) là vận tốc tức thời của chuyển động s = s ( t ) tại thời điểm t . b) I ( t ) = Q ( t ) là cường độ tức thời của dòng điện Q = Q ( t ) tại thời điểm t . 465466 CHƯƠNG 5. ĐẠO HÀM 5 Hàm số y = f ( x ) ( a ; b ) nếu có có đạo hàm tại mọi điểm x trên khoảng đó. Khi đó, ta gọi hàm số f : ( a ; b ) R x 7 f ( x ) là đạo hàm của hàm số y = f ( x ) trên khoảng ( a ; b ) , ký hiệu là y hay f ( x ) . 6 a) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên phải lim x x + 0 f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 , ta sẽ gọi giới hạn đó là đạo hàm bên phải của hàm số y = f ( x ) tại điểm x = x 0 và kí hiệu là f ( x + 0 ) . b) Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn) bên trái lim x x 0 f ( x ) f ( x 0 ) x x 0 , ta sẽ gọi giới hạn đó là đạo hàm bên trái của hàm số y = f ( x ) tại điểm x = x 0 và kí hiệu là f ( x 0 ) . Các đạo hàm bên phải và bên trái được gọi chung là đạo hàm một bên. Hàm số y = f ( x ) có đạo hàm tại x 0 khi và chỉ khi f ( x + 0 ) , f ( x 0 ) tồn tại và bằng nhau. Khi f ( x + 0 ) = f ( x 0 ) = f ( x 0 ) . Hàm số y = f ( x ) [ a ; b ] nếu thỏa mãn các điều kiện sau: - Có đạo hàm tại mọi x ( a ; b ) ; - Có đạo hàm bên phải tại x = a ; - Có đạo hàm bên trái tại x = b . B CÁC DẠNG TOÁN { DẠNG 1.1. Tính đạo hàm của hàm số bằng định nghĩa y = f ( x ) tại điểm x 0 bằng định nghĩa, ta thực hiện như sau: Bước 1. Giả sử x là số gia của đối số tại x 0 , tính y = f ( x 0 + x ) f ( x 0 ) . Bước 2. Lập tỉ số y x .