Hướng dẫn giải và bài tập ứng dụng của tích phân – Phạm Văn Huy

Mô tả

CHUYÊN ĐỀ LUY N THI THPT QU C GIA 2016 - 2017 O y x b a ( ) y f x = A. LÝ THUYẾT I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG : Cho hàm số ( ) y f x = li a; b . Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số ( ) y f x = , trục hoành và hai thẳng: x a, x b = = là: ( ) b a S f x dx = . Bài toán 1: Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên a; b . Khi đó diện tích S của hình phẳng (D) giới hạn bởi: Đồ thị hàm số ( ) y f x = ; trục Ox : ( y 0 = ) và hai đường thẳng x a; x b = = là: ( ) b a S f x dx = . Bài toán 2 . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị: ( ) ( ) 1 C : y f x = , ( ) ( ) 2 C : y g x = và hai x a, x b = = . ( ) ( ) b a S f x g x dx = . Chú ý: 1 ) Để phá bỏ dấu giá trị tuyệt đối ta thường làm như sau: * Giải phương trình: ( ) ( ) f x g x = tìm nghiệm ( ) 1 2 n x , x ,..., x a; b ( ) 1 2 n x x ... x < < < . Tính: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x b 1 2 a x x 1 n S f x g x dx f x g x dx ... f x g x dx = + + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x b 1 a xn f x g x dx ... f x g x dx = + + . Ngoài cách trên, ta có thể dựa vào đồ thị để bỏ dấu giá trị tuyệt đối. 2 ) Trong nhiều trường hợp, bài toán yêu cầu tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị ( ) ( ) 1 C : y f x = , ( ) ( ) 2 C : y g x = . Khi đó, ta có công thức tính như sau: ( ) ( ) xn x1 S f x g x dx = . Trong đó: 1 n x , x tương ứng là nghiệm nhỏ nhất, lớn nhất của phương trình: ( ) ( ) f x g x = . II. THỂ TÍCH KHỐI TRÒN XOA Y a. Tính thể tích của vật thể Cắt một vật thể C bởi hai mặt phẳng ( ) P và ( ) Q vuông góc với trục Ox lần lượt tại ( ) x a, x b a b = = < . Một mặt phẳng bất kì vuông góc với Ox tại điểm ( ) x a x b cắt C theo một y O a b ( ) y f x = ( ) y g x =CHUYÊN ĐỀ LUY N THI THPT QU C GIA 2016 - 2017 thiết diện có diện tích ( ) S x . Giả sử ( ) S x là hàm liên tục trên a; b . Khi đó thể tích của vật thể C giới hạn bởi hai mp ( ) P và ( ) Q ( ) b a V S x dx = . b. Tính thể tích vậy tròn xoay Bài toán 1. Tính thể tích vật thể tròn xoay khi quay miền D ( ) y f x ; y 0; x a; x b = = = = quanh trục Ox Thiết diện của khối tròn xoay cắt bởi mặt phẳng vuông góc với Ox tại điểm có hoành độ bằng x là một hình tròn có bán kính ( ) R f x = nên diện tích thiết diện bằng ( ) ( ) 2 2 S x R f x = π = π . Vậy thể tích khối tròn xoay được tính theo công thức: ( ) ( ) b b 2 a a V S x dx f x dx = = π . Chú ý: Nếu hình phẳng D giới hạn bởi các ( ) ( ) y f x , y g x , = = x a, x b = = (Với ( ) ( ) f x .g x 0 x a; b ) thì thể tích khối tròn xoay sinh bởi khi quay D quanh trục Ox bởi công thức: ( ) ( ) b 2 2 a V f x g x dx = π . Bài toán 2. Tính t hể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng D giới hạn bởi các đường ( ) x g y , y a, y b, Oy = = = quanh trục Oy ( ) b 2 a V g y dy = π . Chú ý: Trong trường hợp ta không tìm cách sau. Chứng minh hàm số y f(x) = liên tục và đơn điệu trên [c; d] với { } { } c min g(a),g(b) ,d max g(a),g(b) = = . Khi đó phương trình y f(x) = có duy nhất nghiệm x g(y) = . Thực hiện phép đổi biến x g(y),dy f '(x)dx = = ta có: d 2 c V x f '(x)dx = π . B. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN. I. DIỆN TÍCH HÌNH PHẲNG Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y f(x), x a, x b và tr Phương pháp Bước 1. Lập bảng xét dấu hàm số f(x) trên đoạn [a; b]. ( ) y f x = a b y x O