Lý thuyết, các dạng toán và bài tập tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Mô tả

Chương 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ 0 180 I. Tóm tắt lí thuyết 1. Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ 0 180 Với mỗi góc ( 0 180 ), ta xác định một điểm M trên nửa đường tròn đơn vị sao cho xOM = và giả sử điểm M có tọa độ M ( x 0 ; y 0 ) . Khi sin của góc là y 0 , ký hiệu sin = y 0 ; cô-sin của góc là x 0 , ký hiệu cos = x 0 ; tang của góc là y 0 x 0 ( x 0 6 = 0 ), ký hiệu tan = y 0 x 0 ; cô-tang của góc là x 0 y 0 ( y 0 6 = 0 ), ký hiệu cot = x 0 y 0 . x y O 1 1 1 M x 0 y 0 Các số sin , cos , tan , cot giá trị lượng giác của góc . 4 ! Chú ý. Nếu là góc tù thì cos < 0 , tan < 0 , cot < 0 . tan chỉ xác định khi 6 = 90 . cot chỉ xác định khi 6 = 0 và 6 = 180 . Tính chất 1. Về dấu của các giá trị lượng giác. sin > 0 với 0 < < 180 . cos > 0 với 0 < < 90 và cos < 0 với 90 < < 180 . tan > 0 với 0 < < 90 và tan < 0 với 90 < < 180 . cot > 0 với 0 < < 90 và cot < 0 với 90 < < 180 . Như vậy, cos , tan , cot luôn cùng dấu với 0 < < 90 và 90 < < 180 . Tính chất 2. Mối quan hệ giữa hai góc bù nhau. 99100 CHƯƠNG 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ sin = sin ( 180 ) . cos = cos ( 180 ) . tan = tan ( 180 ) với 6 = 90 . cot = cot ( 180 ) với 6 = 0 , 180 . Tính chất 3. Mối quan hệ giữa hai góc phụ nhau (với 0 90 ). sin ( 90 ) = cos . cos ( 90 ) = sin . tan ( 90 ) = cot với 6 = 0 . cot ( 90 ) = tan với 6 = 90 . Tính chất 4. Các công thức cơ bản. tan = sin cos . cot = cos sin . tan . cot = 1 . sin 2 + cos 2 = 1 . 1 + tan 2 = 1 cos 2 . 1 + cot 2 = 1 sin 2 . 2. Góc giữa hai vec-tơ Cho hai vec-tơ a và b 0 . Từ một điểm O bất kỳ, ta vẽ OA = a và OB = b . Góc AOB với số đo từ 0 180 góc giữa hai vec-tơ a và b . Ta ký hiệu góc giữa hai vec-tơ a và b là ( a , b ) . Nếu ( a , b ) = 90 thì ta nói rằng a và b vuông góc với nhau, ký hiệu là a b hoặc b a . b a O B b A a 4 ! Từ định nghĩa ta có ( a , b ) = ( b , a ) . Tính chất 5. Nếu a và b cùng hướng thì ( a , b ) = 0 . Tính chất 6. Nếu a và b ngược hướng thì ( a , b ) = 180 . II. Các dạng toán Dạng 1. Tính các giá trị lượng giác Sử dụng các công thức cơ bản ở phần lý thuyết để tính ra các giá trị lượng giác. 4 ! Cần chú ý dấu của các giá trị lượng giác khi tính. Ví dụ 1. Cho sin = 1 4 . Tính cos , tan , cot biết 0 < < 90 . Lời giải. Ta có sin 2 + cos 2 = 1 cos 2 = 1 sin 2 . Với sin = 1 4 thì cos 2 = 1 1 16 = 15 16 . Vì 0 < < 90 nên cos = 15 16 . Từ đó suy ra tan = sin cos = 15 15 , cot = cos sin 15 .