Tuyển tập 30 bài toán bất phương trình vô tỉ – Nguyễn Minh Tiến

Mô tả

Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Bài 1 : Giải bất phương trình ( x 1) x 2 2 x + 5 4 x x 2 + 1 2 ( x + 1) Lời giải tham khảo : ( x 1) x 2 2 x + 5 4 x x 2 + 1 2 ( x + 1) ( x + 1) ( 2 + x 2 2 x + 5 ) + 2 x ( 2 x 2 + 1 x 2 2 x + 5 ) 0 ( x + 1) ( 2 + x 2 2 x + 5 ) + 2 x (4 x 2 + 4 x 2 + 2 x 5) 2 x 2 + 1 + x 2 2 x + 5 0 ( x + 1) ( 2 + x 2 2 x + 5 ) + 2 x ( x + 1) (3 x 1) 2 x 2 + 1 + x 2 2 x + 5 0 ( x + 1) [( 2 + x 2 2 x + 5 ) + 2 x (3 x 1) 2 x 2 + 1 + x 2 2 x + 5 ] 0 ( x + 1) [ 4 x 2 + 1 + 2 x 2 2 x + 5 + 2 ( x 2 + 1) ( x 2 2 x + 5) + (7 x 2 4 x + 5) 2 x 2 + 1 + x 2 2 x + 5 ] 0 Có 7 x 2 4 x + 5 = 7 ( x 2 4 7 x + 4 49 ) + 31 7 31 7 nên biểu thức trong ngoặc luôn > 0. Do đó bất phương trình x + 1 0 x 1 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = ( ; 1] Bài 2 : Giải bất phương trình x + 2 + x 2 x + 2 3 x 2 Lời giải tham khảo : x 2 3 bpt x + 2 3 x 2 + x 2 x 2 0 2 ( x 2) x + 2 + 3 x 2 + ( x 2) ( x + 1) 0 ( x 2) [ 2 x + 2 + 3 x 2 + x + 1 ] 0 1Maths287 BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ Xét f ( x ) = 2 x + 2 + 3 x 2 + x + 1 f ( x ) = 1 x + 2 + 3 3 x 2 ( x + 2 + 3 x 2 ) + 1 > 0 f ( x ) f ( 2 3 ) > 0 Do đó bất phương trình x 2 0 x 2 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = [ 2 3 ; 2 ] Bài 3 : Giải bất phương trình 4 x + 1 + 2 2 x + 3 ( x 1) ( x 2 2) Lời giải tham khảo : x 1 Nhận thấy x = - 1 là một nghiệm của bất phương trình Xét x > - 1 ta có bất phương trình tương đương với 4 ( x + 1 2 ) + 2 ( 2 x + 3 3 ) x 3 x 2 2 x 12 4 ( x 3) x + 1 + 2 + 4 ( x 3) 2 x + 3 + 3 ( x 3) ( x 2 + 2 x + 4) ( x 3) ( 4 x + 1 + 2 + 4 2 x + 3 + 3 ( x + 1) 2 3 ) 0 Vì x > - 1 nên x + 1 > 0 và 2 x + 3 > 1 4 x + 1 + 2 + 4 2 x + 3 + 3 < 3 Do đó 4 x + 1 + 2 + 4 2 x + 3 + 3 ( x + 1) 2 3 < 0 Suy ra bất phương trình x 3 0 x 3 Vậy tập nghiệm của bất phương trình là T = { 1 } ∪ [3; + ) Bài 4 : Giải bất phương trình x ( x + 2) ( x + 1) 3 x 1 Lời giải tham khảo : x 0 . Khi x 0 ta có ( x + 1) 3 x > 0 2