Ứng dụng định lý Viète trong phương trình bậc ba – Nguyễn Thanh Hải

Mô tả

ĐỊNH VIÈTE. Cho phương trình ax + bx + cx + d = 0 ( a 0 ) , có các nghiệm là 3 LÝ 2 Theo đề bài (*) có hai nghiệm xM , xN trong đó b x1 + x2 + x3 = − a c x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = a d x1 x2 x3 = − a dụ 1. Cho phương nghiệm xM là nghiệm kép (do M là tiếp điểm). Theo định lý Viète thì xM + xM + xN = 3 xN = 3 − 2 xM dẫn đến: P = 5xM2 + (3 − 2xM ) 2 trình x3 − 6mx + 5 − 5m2 = 0 với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình có 3 nghiệm phân biệt lập thành cấp số cộng. Lời giải. Điều kiện cần: Giả sử phương trình có ba nghiệm phân biệt là x1 , x2 , x3 theo thứ tự lập thành cấp số cộng, suy ra: x1 + x3 = 2 x2 (1). Theo định lý Viète thì Từ (1) và (2) được x1 + x2 + x3 = 0 (2). x2 = 0. Thay x = 0 vào phương trình: 0 − 6m.0 + 5 − 5m = 0 m = 1 . Điều kiện đủ: Với m = 1 phương trình là: 3 2 x = 0 x3 − 6 x = 0 (thỏa mãn). x = 6 Với m = −1 phương trình là: x3 + 6 x = 0 x = 0 (không thỏa mãn). Kết luận: m = 1 . Thí dụ 2. Gọi M ( xM ; yM ) là một điể