Ứng dụng tích phân trong bài toán tính thể tích vật thể với dữ kiện toán thực tế

Mô tả

A. KIẾN THỨC CƠ BẢN 1. Thể tích vật thể Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b ; ( ) S x là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x , ( ) a x b . Giả sử ( ) S x là hàm số liên tục trên đoạn [ ; ] a b . Khi đó, thể tích của vật thể B ( ) b a V S x dx 2. Thể tích khối tròn xoay Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox : Lưu ý: - Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) x g y , trục hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy : c y O d x ( ): ( ) ( ): C x g y Oy x 0 y c y d 2 ( ) d y c V g y dy ( ) : ( ) ( ) : C y f x Ox y 0 x a x b 2 ( ) b x a V f x dx a ( ) y f x y O b x ( ) b a S x dx V x O a b ( ) V S(x) x CHUYÊN ĐỀ TRONG BÀI TOÁN TÍNH THỂ TÍCH VẬT THỂ VỚI DỮ KIỆN TOÁN THỰC TẾ- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường ( ) y f x , ( ) y g x và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox : 2 2 ( ) ( ) b a V f x g x dx B. BÀI TẬP Câu 1. Một Elip có phương trình 2 2 1. 9 4 x y Tính thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay quanh trục Ox . Lời giải Ta có: 2 2 2 1 2 1 . 9 4 9 x y x y Elip đối xứng qua trục Ox nên ta chỉ cần xét hàm số 2 2 1 9 x y khi quay quanh . Ox Phương trình hoành độ giao điểm của 2 2 1 9 x y và trục : Ox 2 2 1 0 3. 9 x x Thể tích cần tính: 3 2 3 4 1 16 50, 24 9 x V dx Câu 2. Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường 0, ln( 1) y y x x và 1 x xung quanh trục . Ox Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm: 0 ln( 1) 0 0 ln 1 0 x x x x x Ta có: 1 2 0 ln 1 12 ln 2 5 18 V x x dx Câu 3. Người ta vẽ nửa đường tròn như hình vẽ bên, trong đó đường kính của đường tròn lớn gấp đôi Nửa hình tròn đường kính AB có diện tích là 32 và 30 BAC . Tính thể tích vật thể tròn xoay H (phần tô đậm) xung quanh đường thẳng AB . Lời giải Dựng hệ trục toạ độ Oxy như hình vẽ.