Vẻ đẹp lời giải hình học qua các bài toán lượng giác

Mô tả

NHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VI T NAM https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trong chương trình toán THPT, đ ch ng minh m t s h th c lư ng giác , ta thư ng s d ng các bi n đ i lư ng giác. Câu h i đ t ra, ngoài các cách bi n đ i lư ng giác thì ta có cách ti p c n nào khác đ gi i quy t v n đ không? Đ tr l i câu h i này, bài vi t sau đây m i b n c cùng đ n v i hư ng ti p c n hình h c cho ch ng minh m t s h th c lư ng giác. I. CÁC Đ NG TH C LƯ NG GIÁC Bài 1. Ch ng minh r ng v i x y + , ta có ( ) sin sin cos cos sin . x y x y x y + = + Ch ng minh 1. G i z là góc th a mãn x y z + + = . Ta có , , x y z là ba góc c a m t tam giác. Không m t t ng quát, gi s tam giác đó n i ti p đư ng tròn bán kính 1 2 r = . Ta có 1 sin : 2 2 c z c = = , tương t sin x a = , sin y b = . T công th c cos cos c a y b x = + , ta có ( ) sin sin cos cos sin sin sin cos cos sin . z x y x y x y x y x y = + + = + Ch ng minh 2. V tam giác ABC v i H là chân đư ng cao h t nh A lên c nh . BC t ; BAH x CAH y = = và ; ; . AB a AC b AH h = = = Ta có ABC ABH ACH S S S = + ( ) 1 1 1 sin sin sin 2 2 2 ab x y ah x bh y + = + ( ) 1 1 1 sin cos .sin cos .sin 2 2 2 ab x y ab y x ba x y + = + ( ) sin sin cos cos sin . x y x y x y + = + Trao i kinh nghi m d y h c theo nh hư ng ti p c n năng l c ngư i h c V p l i gi i hình h c qua các bài toán lư ng giác Ths. HOÀNG MINH QUÂN GV Trư ng THPT chuyên Nguy n Hu , Hà N iNHÓM GIÁO VIÊN TOÁN VIỆT NAM https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Chứng minh 3. Vẽ tam giác ABC với D là chân đường cao hạ từ đỉnh A , E là chân đường cao hạ từ đỉnh C , , BAC x ABC y . Khi đó ACD x y . Ta có . . . . . CE AE EB CE AB AD BC CE AB AD BC BC Mặt khác, lại có . sin sin . . . CE AE EB AD AE CE CE EB x y ACD AC AC BC AC BC AC BC hay sin cos sin sin cos . x y x y x y Bài 2. Chứng minh rằng với ; 0; 2 x y và x y ta có sin sin cos cos sin . x y x y x y Chứng minh 1. Dựng tam giác ABC vuông tại A , gọi D là điểm thuộc cạnh AC sao cho , . ABC x ABD y ; BC a BD b . Ta có cos cos ; sin sin AB b y a x AD a x b y . Mặt khác ta có 1 1 . . 2 2 BCD ABC ABD S S S AB AC AB AD . .sin . . . .sin cos . sin cos . sin BD BC x y AB AC AB AD b a x y b y a x a x b y sin cos .sin cos .sin . x y y x x y Chứng minh 2.