Tμi   liÖu to ̧n 11   n ̈m   häc   2018  Gi¶ng   d¹y:   nguyÔn   b¶o   v¬ng   -   0946798489   Page | 1  A. KI  N TH  C C  N NH   1.   GI  I H  N DÃY S   1. Đ  nh nghĩa    Ta nói dãy s    có gi  i h  n là   khi   d  n t  c, n  u   có th    nh    hơn mộ t s    dương bé tuỳ      t    m  t s    h      Kí hi  u:   hay   khi   nh   nghĩa 2  Ta nói dãy s    có gi  i h  n là   (hay   d  n t  i   ) khi   n  u Kí hi  u:   hay   khi  2. M  t vài gi  i h  c bi  t  a)   v  i   nguyên dương;  b)   n  u c) N  u   (   là h  ng s  ) thì  Chú ý:   T    nay v    sau thay cho   ta vi  t t  t là   .  I      GI  I H  N H  U H  N C  A DÃY S     nh lí 1  a) N  u   và   thì (n  u   ). b) N  u   thì  II        NH LÝ V    GI  I H  N H  U H  NTμi   liÖu to ̧n 11   n ̈m   häc   2018  Gi¶ng   d¹y:   nguyÔn   b¶o   v¬ng   -   0946798489   Page | 2  C  p s    nhân vô h  n   có công b  i   , v  i    c g  i là c  p s    nhân lùi vô h  n. T  ng c  a c  p s    nhân lùi vô h  n:  III      T  NG C  A C  P S    NHÂN LÙI VÔ H  N  1. Định nghĩa  Ta nói dãy s    có gi  i h  n là   khi   , n  u   có th    l  t s    dương bấ t kì, k    t   m  t s    h      Kí hi  u:   hay   khi Dãy s    có gi  i h  n là   khi   , n  u   . Kí hi  u:   hay   khi Nh  n xét:  2. M  t vài gi  i h  c bi  t  Ta th  a nh  n các k  t qu    sau a)   v  i   nguyên dương;  b)   n  u   .  3. Đị nh lí 2  a) N  u   và   thì   . b) N  u   ,   và   thì c) N  u   và   thì  IV      GI  I H  N VÔ C  C

Các dạng toán và bài tập giới hạn có lời giải chi tiết – Nguyễn Bảo Vương

 i s    11   Tr  n S    Tùng  Trang 60  I. Gi  i h  n c  a dãy s   Gi  i h  n h  u h  n   Gi  i h  n vô c  c  1.   Gi  i h  n    c bi  t :  1 lim   0  n   n    =   ;   1 lim   0 (   )  k n   k  n  +     =        lim   0 (   1) n n   q   q     =   <   ;   lim  n  C   C    =  2.    nh lí   : a) N  u lim u n   = a, lim v n   = b thì    lim (u n   + v n ) = a + b    lim (u n    n ) = a – b    lim (u n .v n ) = a.b     lim   n n  u   a  v   b  =   (n  u b     0) b) N  u u n     0,  " n và lim u n = a thì a     0 và lim   n u   a =  c) N  u   n   n u   v    ,  " n và lim v n   = 0 thì   lim u n   = 0 d) N  u lim u n   = a thì   lim   n u   a =  3. T  ng c  a c  p s    nhân lùi vô h  n  S = u 1   + u 1 q + u 1 q 2   + ... =   1 1  u  q -   (   ) 1 q   <  1. Gi  i h  n    c bi  t :  lim   n   = +•   lim   (   ) k  n   k   +  = +•        lim   (   1) n  q   q = +•   >  2.    nh lí : a) N  u   lim   n u   = +•   thì   1 lim   0  n u   =  b) N  u lim u n   = a, lim v n   =     thì lim   n  n  u  v   = 0 c) N  u lim u n   = a     0, lim v n   = 0 thì   lim   n  n  u  v   =   .   0 .   0  n n  neáu a v neáu a v   +•   >   -•   <   d) N  u lim u n   = +   , lim v n   = a thì   lim(u n .v n ) =   0 0  neáu a neáu a   +•   >   -•   <   * Khi tính gi  i h  n có m  t trong các d  ng vô   nh: 0 0   ,        ,        , 0.     thì ph  i tìm cách kh   d  ng vô    nh.  M  t s    ph  ng pháp tìm gi  i h  n c  a dãy s  :    Chia c    t    và m  u cho lu    th  a cao nh  t c  a n . VD:   a) 1 1 1   1 lim   lim   3 2   3   2 2  n   n n  n  + +   =   =  +   +  b)  2  1 1   3 3 lim   lim   1 1 1   2   2  n   n   n   n n  n  +   - +   -   =   =  -   -  c)   2   2 2  4   1 lim(   4   1)   lim   1 n   n   n   n   n       -   +   =   -   +   = +•     ̃     ̄    Nhân l  ng liên h  p : Dùng các h  ng    ng th  c  (   ) (   )   (   ) (   ) 3   3 2   2 3   3   3  ; a   b   a   b   a   b   a   b   a   ab   b   a   b -   +   =   -   -   +   +   =   -  VD:   (   ) 2  lim   3 n   n   n -   -   =   (   )   (   )  (   )  2   2 2  3   3 lim 3  n   n   n   n   n   n  n   n   n  -   -   -   +  -   +  =   2  3 lim 3  n  n   n   n  -  -   +  =   3 2  -  CH  NG IV GI  I H  NTr  n S    Tùng    i s    11  Trang 61     Dùng    nh lí k  p : N  u   n   n u   v    ,  " n và lim v n   = 0   thì   lim u n   = 0 VD:   a) Tính   sin  lim   n n   .   Vì   0     sin   1 n n   n     và   1  lim   0 n   =   nên   sin  lim   0 n n   =  b) Tính   2  3sin   4 cos  lim   2   1 n   n n  -  +   .   Vì   2   2   2   2  3sin   4 cos   (3   4 )(sin   cos   )   5 n   n   n   n -      +   +   =  nên 0     2   2  3sin   4 cos   5  2   1   2   1 n   n n   n  -     +   +   . Mà   2  5  lim   0  2   1 n   =  +   nên   2  3sin   4 cos  lim   0  2   1 n   n n  -   =  +  Khi tính các gi  i h  n d  ng phân th  c, ta chú ý m  t s    tr  ng h  p sau        N  u b  c c  a t    nh    h  n b  c c  a m  u thì k  t qu    c  a gi  i h  n      ng 0.    N  u b  c c  a t    b  ng b  c c  a m  u thì k  t qu    c  a gi  i h  n      ng t    s    các h    s    c  a lu   th  a cao nh  t c  a t    và c  a m  u.    N  u b  c c  a t    l  n h  n b  c c  a m  u thì k  t qu    c  a gi  i h  n         n  u h    s    cao nh  t c  a t    và m  u cùng d  u và k  t qu    là –     n  u h    s    cao nh  t c  a t    và m  u trái d  u.  Baøi 1:   Tính các gi  i h  n sau: a)  2 2  2   3  lim   3   2   1 n   n n   n  -   +  +   +   b)   3   2  2   1  lim   4   3 n n   n  +  +   +   c)  3   2 3  3   2 lim   4 n   n   n n  +   +  +  d)  4 2  lim   (   1)(2   )(   1) n n   n   n +   +   +   e)  2 4  1  lim   2   1 n n   n  +  +   +   f)  4   2 3   2  2   3  lim   3   2   1 n   n n   n  +   -  -   +  Baøi 2:   Tính các gi  i h  n sau: a)   1   3  lim   4   3  n  n  +  +   b)  1  4.3   7  lim   2.5   7  n   n  n   n  +  +  +   c)  1   2  4   6 lim   5   8  n   n n   n  +   +  +  +  d)  1  2   5  lim   1   5  n   n  n  +  +  +   e)   1   2.3   7  lim   5   2.7  n   n  n   n  +   -  +   f)   1  1   2.3   6  lim   2 (3   5)  n   n  n   n +  -   +  -  Baøi 3:   Tính các gi  i h  n sau: a)  2 2  4   1   2   1  lim 4   1 n   n n   n   n  +   +   -  +   +   +  b)  2 2  3   4  lim 2  n   n n   n  +   -   -  +   +  c)  3 2   6  4   2  1 lim 1 n   n n   n  +   - +   +  d)  2 2  4   1   2  lim 4   1 n   n n   n   n  +   +  +   +   +  e)   (2   1)(   3)  lim   (   1)(   2) n   n   n n   n  +   +  +   +   f)  2   2 2  4   4   1  lim 3   1  n   n   n n   n  -   -   +  +   +  Baøi 4:   Tính các gi  i h  n sau: a)   1   1   1 lim   ...  1.3   3.5   (2   1)(2   1) n   n       +   +   +     ̃  -   +     ̄  b)   1   1   1 lim   ...  1.3   2.4   (   2) n n       +   +   +     ̃  +     ̄  c)   2   2   2  1   1   1  lim 1   1   ...   1 2   3   n                -   -   -     ̃ Á    ̃       ̃      ̄ Ë    ̄       ̄  d)   1   1   1 lim   ...  1.2   2.3   (   1) n n       +   +   +     ̃  +     ̄  e)   2  1   2   ...  lim   3 n n   n  +   +   +  +   f)  2 2  1   2   2   ...   2  lim   1   3   3   ...   3  n  n  +   +   +   +  +   +   +   +

Lý thuyết và một số bài tập giới hạn – Trần Sĩ Tùng

CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP     Tổng hợp:   Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   1  TOÁN 11 1D4-1  PHẦN A. CÂU HỎI ......................................................................................................................................................... 1  DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT .................................................................................................................................. 1  DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC   ...................................................................................................................... 2  Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu   ................................................................................................................. 2  Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu   .................................................................................................................... 4  Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu  ................................................................................................................ 8  Dạng 1.4 Phân thức chứa căn   ....................................................................................................................................... 9  DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC ......................................................................................................................... 9  DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA ....................................................................................................................... 11  DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG   ...................................................................................................... 13  DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC   ........................................................................................................................ 13  PHẦN B. LỜI GIẢI THAM KHẢO   .............................................................................................................................. 16  DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT ................................................................................................................................ 16  DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC   .................................................................................................................... 17  Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu   ............................................................................................................... 17  Dạng 1.2 Phân thức bậc tử bằng bậc mẫu   .................................................................................................................. 20  Dạng 1.3 Phân thức bậc tử lớn hơn bậc mẫu  .............................................................................................................. 25  Dạng 1.4 Phân thức chứa căn   ..................................................................................................................................... 26  DẠNG 2. DÃY SỐ CHỨA CĂN THỨC ....................................................................................................................... 26  DẠNG 3. DÃY SỐ CHỨA LŨY THỪA ....................................................................................................................... 31  DẠNG 4. TỔNG CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠNG   ...................................................................................................... 33  DẠNG 5. MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC   ........................................................................................................................ 34  PHẦN A. CÂU HỎI DẠNG 0. CÂU HỎI LÝ THUYẾT  Câu 1.   Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề nào   sai? .  A.   Nếu lim   n u      và limv   0 n   a       thì       lim   n   n u v      .  B.   Nếu lim   0 n u   a       và limv n      thì   lim   0 n n u v               .  GIỚI HẠN DÃY SỐCÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP     Tổng hợp:   Nguyễn Bảo Vương : https://www.facebook.com/phong.baovuong   2  C.   Nếu lim   0 n u   a       và limv   0 n      thì   lim   n n u v               .  D.   Nếu lim   0 n u   a       và limv   0 n      và   0 n v      với mọi   n   thì   lim   n n u v               .  Câu 2.   Tìm dạng hữu tỷ của số thập phân vô hạn tuần hoàn   2,13131313... P      ,  A.   212 99  P      B.   213 100  P      .   C.   211 100  P      .   D.   211 99  P      .  Câu 3.   Khẳng định nào sau đây là đúng?  A.   Ta nói dãy số       n u   có giới hạn là số   a   (hay   n u   dần tới   a   ) khi   n          lim   0 n n u   a         .  B.   Ta nói dãy số       n u   có giới hạn là   0   khi   n   dần tới vô cực, nếu   n u   có thể lớn hơn một số dương tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.  C.   Ta nói dãy số       n u   có giới hạn      khi   n      n u   có thể nhỏ hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.  D.   Ta nói dãy số       n u   có giới hạn      khi   n      n u   có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.  Câu 4.   Cho các dãy số             , n   n u   v   và lim   , lim n   n u   a   v       thì   lim   n n u v   bằng  A.   1 .   B.   0   .   C.      .   D.      .  Câu 5.   Trong các khẳng định dưới đây có bao nhiêu khẳng định đúng? (I)   lim   k n      với   k   nguyên dương. (II) lim   n q      nếu   1 q      . (III) lim   n q      nếu   1 q     A.   0   .   B.   1 .   C.   3   .   D.   2   .  Câu 6.   Cho dãy số       n u   thỏa   3 2   1  n u   n        với mọi   * n         . Khi đó  A.   lim   n u   không tồn tại.   B.   lim   1 n u      .   C.   lim   0 n u      .   D.   lim   2 n u      .  Câu 7.   (THPT   CHUYÊN   HÙNG   VƯƠNG   -   PHÚ   THỌ   -   LẦN   1   -   2018)   Phát biểu nào sau đây là   sai ?  A.   lim   n u   c    (   n u   c    là hằng số ).   B.   lim   0 n q          1 q      .  C.   1 lim   0  n      .   D.   1 lim   0 k n          1 k      . DẠNG 1. DÃY SỐ DẠNG PHÂN THỨC Dạng 1.1 Phân thức bậc tử bé hơn bậc mẫu

Các dạng toán giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục

MỤC LỤC  CHƯƠNG 4   GIỚI HẠN   1  1   GIỚI HẠN DÃY SỐ   1 A   TÓM TẮT LÝ THUYẾT   1 1   DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN 0   1 1.1      0   1 1.2   Một số dãy số có giới hạn   0   thường gặp   1 2   DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN HỮU HẠN   1 2.1      1 2.2   Một số định lí   1 2.3   Tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn   2 3   DÃY SỐ CÓ GIỚI HẠN VÔ CỰC   2 3.1   Dãy số có giới hạn   +    2 3.2   Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực   2 3.3   Một số kết quả   3 B   CÁC DẠNG TOÁN   3 Dạng 1. Sử dụng định nghĩa chứng minh rằng   lim   u n   =   L   3 Dạng 2. Tính giới hạn của dãy số bằng các định lí về giới hạn   4 Dạng 3. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn   6 Dạng 4. Dãy số có giới hạn vô cực   7 C   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   9     50 2   GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ   51 A   TÓM TẮT LÝ THUYẾT   51 1   Giới hạn của hàm số tại một điểm   51https://www.facebook.com/groups/GeoGebraPro/   Chương 4 - Giải tích 11  2   Giới hạn của hàm số tại vô cực   51 3   Một số định lí về giới hạn hữu hạn   51 4   Giới hạn một bên   52 5   Một vài quy tắc tìm giới hạn vô cực   52 6   Các dạng vô định   53 B   CÁC DẠNG TOÁN   53 Dạng 1. Sử dụng định nghĩa giới hạn của hàm số tìm giới hạn   53 Dạng 2. Chứng minh rằng   lim  x  x 0  f   ( x )   không tồn tại   54 Dạng 3. Các định lí về giới hạn và giới hạn cơ bản để tìm giới hạn   54 Dạng 4. Tính giới hạn một bên của hàm số   57 Dạng 5. Giới hạn của hàm số số kép   59 Dạng 6. Một vài qui tắc tính giới hạn vô cực   59 Dạng 7. Dạng   0 0   61 Dạng 8. Giới hạn dạng   1  ,   0    ,    0 .   79 C   CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM   80     136 3   HÀM SỐ LIÊN TỤC   138 A   TÓM TẮT LÝ THUYẾT   138 1   Hàm số liên tục tại một điểm   138 2   Hàm số liên tục trên một khoảng   138 3   Các định lí về hàm số liên tục   139 B   CÁC DẠNG TOÁN   139 Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm - Dạng I   139 Dạng 2. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm - Dạng II   140 Dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số trên một khoảng   141 Dạng 4. Sử dụng tính liên tục của hàm số để chứng minh   143  Th.s Nguyễn Chín Em   2   https://emncischool.wixsite.com/geogebra

Giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục – Nguyễn Chín Em

   Chương IV. GIỚI HẠN    I. PHẦN TRẮC NGHIỆM Câu 1.   Cho dãy   ( u n )   thỏa   u n      0 ,    n      N    và   lim   u n   =   a . Trong các khẳng định dưới đây, khẳng định nào đúng?  A.   a      0   và   lim    u n   =   a .   B.   a      0   và   lim    u n   = 0 .  C.   a      0   và   lim    u n   =    a .   D.   a      0   và   lim    u n   =    a .  Câu 2.   Cho dãy   ( u n )   và dãy   ( v n )   thỏa mãn   lim   u n   =   a   và   lim   v n   =   b . Trong các đẳng thức cho dưới    sai ?  A.   lim   ( u n   +   v n  )   =   a   +   b .   B.   lim   ( u n      v n  )   =   a      b .  C.   lim   ( u n .v n  )   =   a.b .   D.   lim   u n  v n  =   a b   .  Câu 3.   Biết   lim   u n   = 2   và   lim   v n   = +  . Tính   lim  (  u n   + 3  v n  )  .  A.   2 .   B.   +  .   C.   0 .   D.    2 .  Câu 4.   Tính   lim   n      1  n   + 2   .  A.      1 2   .   B.   +  .   C.   0 .   D.   1 .  Câu 5.   Tính   lim   7 n 2      3 1      2 n      3 n 2   .  A.    7 .   B.      7 3   .   C.    3 .   D.      7 2   .  Câu 6.   Tính   lim   n 2      3 n 3  2 n 3   + 5 n      2   .  A.   1 2   .   B.   1 5   .   C.      3 2   .   D.   0 .  Câu 7.   Tính   lim   3 n      1 2 n      2 . 3 n   + 1   .  A.      1 2   .   B.   3 2   .   C.   1 2   .   D.    1 .  Câu 8.   Tính   lim   (  n   + 1    n ) .  A.   +  .   B.    .   C.   0 .   D.   1 .  Câu 9.   Tính   lim   1   n 2   +   n      n   .  A.   +  .   B.   0 .   C.   2 .   D.    2 .  Câu 10.   Tính   lim   n  (  n 2   + 1      n  )  .  A.   1 2   .   B.   +  .   C.    .   D.   0 .  Câu 11.   Tính   lim   1   n 2   +   n   +   n   .  A.   +  .   B.   1 2   .   C.   0 .   D.    2 .  Câu 12.   Tính   lim   n 2      n   + 1 (2018 n ) 2   + 5 n   + 2017   .  A.   0 .   B.   1 2018 2   .   C.   +  .   D.   1 2018   .  Câu 13.   Tính   lim (10 n ) 4   +   n 3   + 1 5 n      n 4   .  A.   2 .   B.    10 4 .   C.    .   D.   10 4 . GV: PHÙNG HOÀNG EM - St   1   Chương IV. GIỚI HẠN  Câu 14.   Biết   lim   u n   =    3 . Tính   lim  (  u n      1  n  )  .  A.    3 .   B.   2 .   C.   0 .   D.   1 .  Câu 15.   Biết   lim   u n   = 2 . Tính   lim  (  u n      n n   + 2  )  .  A.   2 .   B.   0 .   C.   1 .   D.   +  .  Câu 16.   Biết   lim   u n   = +  . Tính   lim  (   2 u n   + 1  u n      1  )  .  A.   2 .   B.   +  .   C.   0 .   D.    2 .  Câu 17.   Cho dãy số   ( u n )   có   u n   = 4 n 2   +   n   + 2  a.n 2   + 5   . Tìm   a      lim   u n   = 2 .  A.   a   = 5 .   B.   a   = 4 .   C.   a   = 3 .   D.   a   = 2 .  Câu 18.   Biết   lim   u n   = +    và   lim   v n   = 0 . Khẳng định nào sau đây   sai   ?  A.   lim (2 u n ) = +  .   B.   lim ( v n .u n ) = 0 .   C.   lim (  u n ) =    .   D.   lim (  3 v n ) = 0 .  Câu 19.   Biết   lim   u n   = +    và   lim   v n   = +  . Khẳng định nào sau đây   sai   ?  A.   lim ( u n   +   v n ) = +  .   B.   lim  (   1  u n  )  = 0 .  C.   lim ( u n      v n ) = 0 .   D.   lim (  3 v n ) =    .  Câu 20.   Dãy số   ( u n )   với   u n   = 3 n      2 3   n 2   + 2018   có giới hạn bằng  A.   5 .   B.      2 3   .   C.    .   D.   +  .  Câu 21.   Tính   lim   2 n   + 3 n 3  4 n 2   + 2 n   + 1   .  A.   3 4   .   B.   +  .   C.   0 .   D.   5 7   .  Câu 22.   Tính   lim   ( 3 n 2      4 n   + 1 ) .  A.    .   B.   +  .   C.   3 .   D.   1 3   .  Câu 23.   Tính   lim (2 n      4 n      3) .  A.    .   B.   +  .   C.   0 .   D.    2 .  Câu 24.   Tìm công thức tính tổng   S   của cấp số nhân lùi vô hạn   ( u n )   có công bội   q .  A.   S   =   u 1  q      1   .   B.   S   =   u 1  1      q   .   C.   S   =   u 1  q   + 1   .   D.   S   =   u 1 (1      q ) .  Câu 25.   Tổng của cấp số nhân vô hạn      1 2   ,   1 4   ,      1 8   , ...,   (  1) n  2 n   , ...   bằng  A.      1 4   .   B.   1 2   .   C.    1 .   D.      1 3   .  Câu 26.   Tổng của cấp số nhân vô hạn      1 3 ; 1 9 ;      1 27 ;   ... ; (  1) n  3 n   ;   ...   có giá trị là bao nhiêu ?  A.   1 4   .   B.   1 2   .   C.   3 4   .   D.      1 4   .  Câu 27.   Gọi   S   = 1 3      1 9 +   ...   + (  1) n +1  3 n   +   ... . Tính giá trị của   S .  A.   S   = 3 4   .   B.   S   = 1 2   .   C.   S   = 1 4   .   D.   S   = 1 .  Câu 28.   Cho   S   = 9 + 3 + 1 + 1 3 + 1 9 +   ...   +   1 3 n  3   +   ... . Giá trị của   S   là  A.   16.   B.   14.   C.   27 2   .   D.   15. GV: PHÙNG HOÀNG EM - St   2

Đề cương ôn tập chủ đề giới hạn – Phùng Hoàng Em

Tài li  u t    h  c dành cho HS L  p   11   GI  I H  N VÀ LIÊN T  C  Fb :   ThayTrongDGL   Tài li  u biên so  n và sưu t  m   Chúc các em h  c t  t !  Page 1  CHƯƠNG   4   GI  I H  N  B     LIÊN T  C  A.   TÓM T  T LÝ THUY  T  1. Hàm s    liên t  c t  i 1 đi  m     Gi    s    hàm s  (   ) f   x   xác đ  nh trên kho  ng (   ) ; a b   và (   ) 0   ; x   a b    . Hàm s  (   ) y   f   x =   g  i là liên  t  c t  i đi  m 0 x   n  u (   )   (   ) 0  0 lim  x   x   f   x   f   x     =   .     Hàm s    không liên t  c t  i đi  m 0 x   g  i là gián đo  n t  i 0 x   .  2 . Hàm s    liên t  c trên m  t   kho  ng, đo  n     Gi    s    hàm s  (   ) f   x   liên t  c trên kho  ng (   ) ; a b   . Ta nói r  ng hàm s  (   ) y   f   x =   liên t  c trên  kho  ng (   ) ; a b   n  u nó liên t  c t  i m  i đi  m c  a kho  ng đó.     Hàm s  (   ) y   f   x =   g  i là liên t  c trên đo  n     ; a b   n  u nó liên t  c trên kho  ng (   ) ; a b   và (   )   (   )   (   )   (   ) lim   , lim  x   a   x   b  f   x   f   a   f   x   f   b +          =   =  .  Nh  n xét:     N  u hai hàm (   ) f   x   và (   ) g   x   liên t  c t  i đi  m 0 x   thì các hàm s  (   )   (   ) f   x   g   x    , (   )   (   ) . f   x   g   x   , (   ) . c f   x  (v  i c   là h  ng s  ) đ  u liên t  c t  i đi  m 0 x   .     Hàm s      c liên t  c trên   . Hàm s    phân th  c và lư  ng giác liên t  c trên t  ng kho  ng  xác đ  nh c  a chúng.  3 . Tính ch  t c  a hàm s    liên t  c       nh lý v    giá tr    trung gian:   Gi    s    hàm s  f   liên t  c trên đo  n     ; a b   . N  u (   )   (   ) f   a   f   b    thì v  i  m  i s    th  c M   n  m gi  a (   )   (   ) , f   a   f   b   t  n t  i ít nh  t m  t đi  m (   ) ; c   a b    tho    mãn ( ) f   c   M =   .       c:   N  u hàm s  f   liên t  c trên đo  n     ; a b   và M   là m  t s    th  c n  m gi  a (   )   (   ) , f   a   f   b  thì đư  ng th  ng y   M =   c  t đ    th    hàm s  (   ) y   f   x =   t  i ít nh  t m  t đi  m có hoành đ  (   ) ; c   a b    .     H    qu  :   N  u hàm s  f   liên t  c trên đo  n     ; a b   và (   )   (   ) .   0 f   a   f   b      thì t  n t  i ít nh  t m  t đi  m (   ) ; c   a b   sao cho (   )   0 f   c   =   . Ta thư  ng v  n d  ng theo hai hư  ng sai:  + V  n d  ng ch  ng minh phương trình có nghi  m:     u hàm s  (   ) y   f   x =   liên t  c trên đo  n     ; a b   và (   )   (   ) .   0 f   a   f   b     thì phương trình (   )   0 f   x   =   có ít nh  t m  t nghi  m trong kho  ng (   ) ; a b   Tài li  u t    h  c dành cho HS L  p   11   GI  I H  N VÀ LIÊN T  C  Fb :   ThayTrongDGL   Tài li  u biên so  n và sưu t  m   Chúc các em h  c t  t !  Page 2  +   V  n   d  ng   trong   tương   giao       th  :     u   hàm   s  (   ) y   f   x =   liên   t  c   trên     n     ; a b   và (   )   (   ) .   0 f   a   f   b     thì đ    th    c  a hàm s  (   ) y   f   x =   c  t tr  c hoành ít nh  t t  i m  t đi  m có hoành đ  (   ) ; c   a b     B.   D  NG TOÁN VÀ BÀI T  P   _ D  NG 1 .   XÉT TÍNH LIÊN T  C C  A HÀM S    T  I M  T ĐI  M  Phương pháp gi  i:  Hàm s    liên t  c t  i đi  m 0 x   x =   khi (   )   (   ) 0  0   lim  x   x  f   x   f   x    =   ho  c (   )   (   )   (   )  0   0  0   lim   lim  x   x   x   x  f   x   f   x   f   x    +       =   =     VÍ D   Ví d    1.   Xét tính liên t  c c  a hàm s  2   3   2   2 ( )   2 4   7   2  x   x   khi x f   x   x x   khi x        +     =           =    t  i đi  m 0   2 x   =   .     Liên t  c  L  i gi  i  Ta có 0 (   )   (2)   4.2   7   1 f   x   f =   =      = 2 2   2   2  3   2   (   2)(   1) lim   ( )   lim   lim   1 2   2 x   x   x  x   x   x   x f   x   x   x            +       =   =   =      Suy ra 2  (2)   lim   ( )  x  f   f   x    =   nên hàm s  ( ) f   x   liên t  c t  i đi  m 0   2. x   =  Ví d    2 .   Xét tính liên t  c c  a hàm s  3   2   1 1 ( )   1   1 3  x   khi x x f   x khi x     +            =     =     t  i đi  m 0   1 x   =   .     Không liên t  c  L  i gi  i  Ta có 0  1 (   )   (1)   . 3  f   x   f =   = 1   1   1   1  3   2   1   1   1 lim   ( )   lim   lim   lim 1   4 (   1)(   3   2)   3   2 x   x   x   x  x   x f   x   x   x   x   x            +       =   =   =   =       +   +   +   +  Suy ra 1  (1)   lim   ( )  x  f   f   x       nên hàm s  ( ) f   x   không liên t  c t  i đi  m 0   1 x   =   (hay gián đo  n t  i    m 0   1 x   =   ).

Tài liệu tự học hàm số liên tục – Nguyễn Trọng

[...Chuyên đề   Tr  c nghi  m Toán 11 ...]   Chuyên đề :   GI  I H  N  Giáo viên:   HU  NH ÁI H  NG ... 0935.905.892 ...   1   CLB Giáo viên tr    TP Hu   Tác gi  :   HU  NH ÁI H  NG (Hu  )   Biên t  p:   Lê Bá B  o (Hu  )  CHUYÊN    :   GI  I H  N  Ch       1:  I- LÝ THUY  T:  1.    NH LÍ   1:   Cho hai dãy s            , n   n  u   v   . N  u ;   *  lim   0  n   n n  u   v   n v                       thì lim   0 n  u      .  2.   CÁC PHÉP TOÁN :   Gi    s  lim   , lim n   n  u   L   v   M                 và c   là m  t h  ng s                       * *   ;  *   lim   lim   .   . *   lim   .   .   lim   0  n   n   n   n n n n  u   v   L   M   u v   L M u   L c u   c L   M v   M                     nh lý 1: NGUYÊN LÝ WEIERSTRASS  M  t dãy s    tăng và bị   ch  n trên (   ho  c   gi  m và b    ch  i   )   thì có gi  i h  n.   nh lý 2:   (  NH LÝ K  P GI  A ) Cho 3 dãy s  ( (   ), (   ),   ) n   n   n  u   v   w   v  i: ;   *   . n   n   n  v   u   w   n          Lúc đó: lim   lim lim  n n n  v   A   u   A w   A                         [...Chuyên đề   Tr  c nghi  m Toán 11 ...]   Chuyên đề :   GI  I H  N  Giáo viên:   HU  NH ÁI H  NG ... 0935.905.892 ...   2   CLB Giáo viên tr    TP Hu   *CÁC K  T QU    QUAN TR  NG:  *     lim   , c   c   c          * 3 3  lim lim   lim  n n n  u   L u   L   u   L                 * vμ  lim   0   lim 0  n n n  u   L   L   u   L u   n                        *   T  ng c  p s    nhân lùi vô h  n     1 q      : 2   1 1   1   1   ...   1  u S   u   u q   u q   q                   * 1 lim   lim   0 n n  u   u       * 3  1   1   1 lim   0;   lim   0;   lim   0;  n   n   n          * lim   0 n  q      n  1 q     *     * 1 lim   0 k   k n            M    r  ng: lim   0 k  c n     * 3  lim   ; lim   ; lim n   n   n         * lim   n  q      n  1 q     *     *  lim   , k  n   k         3. M  T VÀ QUY T  C TÌM GI  I H  N DÃY S  : lim   , lim n   n  u   v     lim   , lim   0 n   n  u   v   L        lim   0, lim   0 n   n  u   L   v        lim   n  u lim   n  v lim   . n   n  u v lim   n  u  D  u L lim   . n   n  u v   D  u L   D  u n  v lim   n n  u v                                      II      BÀI T  P TR  C NGHI  M MINH H  A:  Câu 1.   V  i k   là s    nguyên dương thì 1 lim   k  n   b  ng A.    .   B.    .   C. 0   .   D. 1   .  Hướ ng d  n:     * 1 lim   0, k   k n           .  L  a ch 

Chuyên đề giới hạn của dãy số – Huỳnh Ái Hằng

Giáo viên có nhu c  u s    h  u file word vui lòng liên h  . Face: Tr  n      . S  T: 0834332133  Trang 279  CH  NG 4. GI  I H  N BÀI 1. GI  I H  N DÃY S   A. KI  N TH  C C    B  N C  N N  M I – GI  I H  N H  U H  N C  A DÃY S   1.    nh ngh  a   nh ngh  a 1  Ta nói dãy s    (   ) n u   có gi  i h  n là   0   khi   n   d  n t  i d  ng vô c  c, n  u   n u   có th    nh    h  n m  t s    d  ng bé tu        t    m  t s    h  ng nào         i. Kí hi  u:   lim   0 n n u   =   hay   0 n u      khi   . n      nh ngh  a 2  Ta nói dãy s    (   ) n v   có gi  i h  n là   a   (hay   n v   d  n t  i   a   ) khi   , n      n  u   (   ) lim   0. n n   v   a     -   =  Kí hi  u:   lim   n n   v   a     =   hay   n v   a    khi   . n     2. M  t vài gi  i h  n    c bi  t  a)   1 lim   0;  n   n    =   1 lim   0 k n   n    =   v  i   k   nguyên d  ng; b)   lim   0 n n   q     =   n  u   1; q   <  c) N  u   n u   c =   (   c   là h  ng s  ) thì   lim   lim   . n n   n u   c   c      =   =  Chú ý:   T    nay v    sau thay cho   lim   n n u   a   =   ta vi  t t  t là   lim   n u   a =   .  II –    NH LÝ V    GI  I H  N H  U H  N   nh lí 1  a) N  u   lim   n u   a =   và   lim   n v   b =   thì  (   ) lim   n   n u   v   a   b    +   =   +   (   ) lim   n   n u   v   a   b    -   =   -  (   ) lim   .   . n   n u v   a b    =   lim   n n u   a v   b              =                (n  u   0 b      ). b) N  u   lim 0,  n n u   a u   n     =          "    thì   lim   . 0  n u   a a      =          III – T  NG C  A C  P S    NHÂN LÙI VÔ H  N  C  p s    nhân vô h  n   (   ) n u   có công b  i   q   , v  i   1 q   <    c g  i là c  p s    nhân lùi vô h  n. T  ng c  a c  p s    nhân lùi vô h  n:Giáo viên có nhu c  u s    h  u file word vui lòng liên h  . Face: Tr  n      . S  T: 0834332133  Trang 280  (   ) 1   2   3 1   1 . 1  n S   u   u   u   u   u   q q  =   +   +   +   +   =   -    <    +  IV – GI  I H  N VÔ C  C 1.    nh ngh  a     Ta nói dãy s    (   ) n u   có gi  i h  n là   +¥   khi   n      , n  u   n u   có th    l  n h  n m  t s    d  ng b  t kì, k   t    m  t s    h  ng nào         i. Kí hi  u:   lim   n u   = +¥   hay   n u      khi   . n        Dãy s    (   ) n u   có gi  i h  n là   -¥   khi   n      , n  u   (   ) lim   n u -   = +¥   . Kí hi  u:   lim   n u   = -¥   hay   n u      khi   . n     Nh  n xét:   (   ) lim   . n   n u   u = +¥    -   = -¥  2. M  t vài gi  i h  n    c bi  t  Ta th  a nh  n các k  t qu    sau a)   lim   k n   = +¥   v  i   k   nguyên d  ng; b)   lim   n q   = +¥   n  u   1 q   >   .  3.    nh lí 2  a) N  u   lim   n u   a =   và   lim   n v   = ¥   thì   lim   0 n n u v   =   . b) N  u   lim   0 n u   a =   >   ,   lim   0 n v   =   và   0,   0 n v   n >   "   >   thì   lim   . n n u v   = +¥  c) N  u   lim   n u   = +¥   và   lim   0 n v   a =   >   thì   . lim   . n   n u   v   +¥ =  B. PHÂN LO  I VÀ PH  NG PHÁP GI  I BÀI T  P D  ng 1. S    d  ng nguyên lý k  p 1. Ph  ng pháp 2. Các ví d    rèn luy  n k    n  ng Ví d    1 :   Cho hai dãy s    (   ) n u   và   (   ) n v   có   (   )  2 1 1  n n u   n  - =   +   và   2 1   . 2  n v   n  =   +   Khi       (   ) lim   n   n u   v +   có giá tr    b  ng:  A.   3.   B.   0.   C.   2.   D.   1.  L  i gi  i Ch  n B

Phân loại và phương pháp giải bài tập giới hạn

Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam  Chương IV - Bài 1.   Giới Hạn   Dãy số  1  Lớp Toán Thầy  Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  4   GI  I H  N  A.   L   TH   T I.   DÃY S    0.  1.     nh nghĩa. Ta nói r  ng dãy s      n u   có gi  i h  n 0 n  u v  i m  i s    dương nhỏ   bao nhiêu tùy ý cho  trướ c, m  i s    h  ng c  a dãy s  , k    t    s    h     u có giá tr    tuy  i nh    hơn số  dương đó.  B  ng cách s    d  ng các kí hi  u toán h  c,    nh ngh  a trên có th    vi  t nh    sau:     0   0 lim   0   0,   : n   n u   n   n   n   u                        . Kí hi      lim   0 n u      ho  c lim   0 n u      ho  c 0 n u      Ví dụ   1.   Chứng min h   dãy số     1 4   5  n n u   n         sau đây có giới hạn là 0.  L   .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... 2. Nh  lim   0   lim   0. n   n u   u         N  u     n u   có 0 n u      , *  n    thì lim   lim 0   0 n u         .  Cho hai dãy s      n u   và     n v   . N  u     lim   0  n   n n  u   v v               thì lim   0 n u      .     quan trọng để chứng minh giới hạn bằng 0   bằng định nghĩa. (  giới hạn kẹp ). 3. Các dãy s    0   thư   1 lim   0  n    1 lim   0  n          0   lim   0  C n     v  C   là h   1 lim   0 k n   n        k      1 lim   0 k   n        2, k   k     lim   0 n  q        1 . q     4. Ví d     Ví dụ 2.   Chứng minh rằng các dãy số với số hạng tổng quát sau đây có giới hạn 0  a).     1 3   2  n n u   n         .   b). 3  sin 2 2  n  n   n u   n        .   c).     1   cos  n n  n u   n      .   d.) 2  3sin   4 cos 2   1  n  n   n u   n         . L   .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................  BÀI 1.   GI  I H  N C  A DÃY S Trung Tâm Luyện Thi Đại Học Amsterdam  Chương IV - Bài 1.   Giới Hạn Dãy số  2  Lớp Toán Thầy  Diệp Tuân  Tel: 0935.660.880  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ .................... ................................ ................................ ................................ .......................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ....................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ....................  ................................ ................................ ................................ .......................  ................................ ................................ ................................ .......................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ....................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ....................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ....................  ................................ ................................ ................................ .......................  ................................ ................................ ................................ .......................  ................................ ................................ ................................ .......................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ....................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ....................  ................................ ................................ ................................ .......................  ................................ ................................ ................................ .......................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ....................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ....................  ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ................................ ....................  ................................ ................................ ................................ .......................  ................................ ................................ ................................ .......................  ................................ ................................ ................................ .......................  II .   DÃY S    CÓ GI  I H  N H  U H  N.  1.     nh nghĩa.   Ta nói dãy s      n u   có gi  i h  n là s    th  c L   n  u     lim   0 n u   L       .  Khi đó ta viế t     lim   n n  u   L       , vi  t t  t là     lim   n u   L    ho  c lim   n u   L    . Nh      ch  ng minh dãy s      n u   có gi  i h  n là s    th  c L   ta chuy  n v    vi  ng minh     lim   0 n u   L      . lim   n   n u   a   u   a         nh    bao nhiêu c  ng    c v  i n      l  n.  Không ph  i m  i dãy s     u có gi  i h  n h  u h  n.     Ví dụ 2.   Chứng minh rằng  a). 3 3  lim   1 1  n n                     .   b). 2 2  3   2   1 lim   2   2  n   n n   n                        . L   .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... .................................................................................................................................................................................................................... ....................................................................................................................... ....................................................................................................................... .......................................................................................................................   Ví dụ 3.   Chứng minh rằng  a). 3.3   s in3 lim   3 3  n n  n                   .   b).     2   1 lim   2  n   n   n          . L   .................................................................................................................................................................................................................... .......................................................................................................................

Giới hạn dãy số, giới hạn hàm số và hàm số liên tục – Diệp Tuân

Tài li  u t    h  c dành cho HS L  p   11   GI  I H  N VÀ LIÊN T  C  Fb :   ThayTrongDGL   Tài li  u biên so  n và sưu t  m   Chúc các em h  c t  t !  Page 1  CHƯƠNG   4   GI  I H  N  BÀI 2. GI  I H  N C  A HÀM S   A. TÓM T  T LÝ THUY  T    nh nghĩa 1   (Gi  i h  n c  a hàm s    t  i m  t đi  m).  Gi    s  (   ) ; a b   là m  t kho  ng ch  a đi  m 0 x   và f   là m  t hàm s    xác đ  nh trên t  p h  p (   )     0 ;   \ a b   x  . Ta nói r  ng hàm s  f   có gi  i h  n là s    th  c L   khi x   d  n đ  n 0 x   (ho  c t  i đi  m 0 x   ) n  u  v  i m  i dãy s  (   ) n x   trong t  p h  p (   )     0 ;   \ a b   x   mà 0 lim   n x   x =   ta đ  u có (   ) lim   n f   x   L =   .  Khi đó ta vi  t (   ) 0  lim  x   x   f   x   L     =   ho  c (   ) f   x   L    khi 0 x   x    .    nh nghĩa 2   (Gi  i h  n c  a hàm s    t  i vô c  c).  Gi    s    hàm s  f   xác đ  nh trên kho  ng (   ) ; a   +   . Ta nói r  ng hàm s  f   có gi  i h  n là s    th  c L  khi x   d  n t  i +   n  u v  i m  i dãy s  (   ) n x   trong kho  ng (   ) ; a   +   mà lim   n x   = +   ta đ  u có (   ) lim   n f   x   L =  .  Khi đó ta vi  t (   ) lim  x   f   x   L     =   ho  c (   ) f   x   L    khi x      .  GI  I H  N H  A H  N   GI  I H  N VÔ   C  C  Gi  i h  n đ  c bi  t  1) 0  0 lim  x   x   x   x     =   .  2) 0  lim  x   x   c   c     = (   ) c      .  Gi  i h  n đ  c bi  t  1) lim   k x   x     = +   .   2) lim   0  x   k  c x    =   .  3) 0  1 lim  x   x     = −   .   4) 0  1 lim  x   x +    = +   .  5) (   ) khi   2   0 li   khi   2 m  x k   k   k k x    +   = −            nh lí  N  u (   ) 0  lim  x   x   f   x   L     =   và (   ) 0  lim  x   x   g x   M     =   thì  1) (   )   (   ) 0  lim  x   x   f   x   g   x   L   M        =              .  2) (   )   (   ) 0  lim   .   .  x   x   f   x   g   x   L M     =           .  3) (   ) (   ) 0  lim  x   x  f   x   L g   x   M    =   v  i 0 M      .  N  u (   )   0 f   x      và (   ) 0  lim  x   x   f   x   L     =   thì (   ) 0  lim  x   x   f   x   L     =  và (   ) 0  lim  x   x   f   x   L     =   .    nh lí 1  N  u (   ) 0  lim   0  x   x   f   x   L     =      và (   ) 0  lim  x   x   f   x     =    thì (   )   (   )   (   ) (   )  0 0 0  khi   . lim   0 lim   .   khi   . lim   0  x   x x   x x   x  L   g   x f   x   g   x   L   g   x      +      =                     .  N  u (   ) 0  lim   0  x   x   g x     =   thì (   ) (   ) (   ) (   ) 0  khi   .   0 lim   khi   .   0 x   x  L g   x f   x g   x   L g   x   +      = −       .Tài li  u t    h  c dành cho HS L  p   11   GI  I H  N VÀ LIÊN T  C  Fb :   ThayTrongDGL   Tài li  u biên so  n và sưu t  m   Chúc các em h  c t  t !  Page 2  Gi  i h  n m  t   bên (   )   (   )   (   ) 0   0   0  lim   l i   i l m   m  x   x x   x   x   x  f   x   f   x   L f   x   L   +               =   = =  .  B. D  NG TO Á   N V À   BÀI T  P  D  ng 1 .   T í   nh gi  i h  n vô đ  nh d  ng 0 0   , trong đ ó   t    th    c v à   m    u th    c l à   c á   c đa th    c .  Phương pháp gi    i:  Kh    d  ng vô đ  nh b  ng c  ch phân t í   ch th à   nh t í   ch b  ng c  ch chia Hooc      nơ (đ  u rơi, nhân   t  i, c  ng  ch é   o), r    i sau đ      n bi  u th  c đ    kh    d  ng vô đ  nh.     VÍ D   Ví d    1.   T í   nh gi  i h  n 2 2 2  2   3   14 lim   4 x  x   x A   x   +    =      .    11 4  A   =   .  L    i gi  i  Ta c  2 2 2   2   2  7 2(x   2)(x   ) 2   3   14   2   7   11 2 lim   lim   lim 4   (x   2)(x   2)   2   4 x   x   x  x   x   x A   x   x            + +      + =   =   =   =       +   +  ! C    n nh  : (   )(   ) 2 1   2 ( )   a f   x   x   bx   c   a x   x   x   x =   +   +   =         v  i 1   2 , x   x   l à   2 nghi    m c  a phương tr ì   nh (   )   0 f   x   =  .   H ọ   c sinh thư    ng quên nhân thêm a   .  Ví d    2.   T í   nh gi  i h  n 3   2 3   2 2  2   5   2   3 lim 4   13   4   3 x  x   x   x A   x   x   x          =      +      .    11 17  A   =   .  L    i gi  i (   ) (   )  (   ) (   )  2 3   2   2 3   2   2 2 3   3   3  3   2   1 2   5   2   3   2   1   11 lim   lim   lim 4   13   4   3   4   1   17 3   4   1 x   x   x  x   x   x x   x   x   x   x A   x   x   x   x   x x   x   x            +   +          +   + =   =   =   =    +         +       +  Nh    n x é   t:   B ả   ng chia Hooc      nơ (đ    u rơi, nhân t    i c    ng ch é   o) như sau:  Phân t í   ch 3   2  2   5   2   3 x   x   x          th à   nh t í   ch s    : (   ) (   ) 3   2   2  2   5   2   3   3   2   1 x   x   x   x   x   x             =      +   +  Phân t í   ch 3   2  4   13   4   3 x   x   x    +      th à   nh t í   ch s    :

Tài liệu tự học giới hạn của hàm số – Nguyễn Trọng

Tư duy mở trắc nghiệm toán lý Sưu tầm và tổng hợp  (  )  218 CÂU TỔNG ÔN GIỚI HẠN Môn: Toán  Thời gian làm bài   phút (218 câu trắc nghiệm)  Họ và tên thí sinh:   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .   Mã đề thi 883 Câu 1.   Tính   L   = lim  x  1  x m      x n  x      1   với   m, n      N  .  A   L   = 0 .   B   L   =   m      n .   C   L   = +  .   D   L   =   m   +   n .  Câu 2.  Cho   4 ABC      1 . Gọi   A 1 ,   B 1 ,   C 1   lần lượt là trung điểm  BC ,   CA ,   AB   ta được   4 A 1 B 1 C 1 . Tương tự   4 A 2 B 2 C 2   có các đỉnh là trung điểm của các cạnh   B 1 C 1 ,   C 1 A 1 ,   A 1 B 1 . Quá trình lặp lại sau   n  bước ( n      N  ) ta được   4 A n B n C n . Gọi   S 0 ,   S n   lần lươt là diện tích  4 ABC   và   4 A n B n C n . Đặt   T n   là tổng diện tích các tam giác   ABC ,  A 1 B 1 C 1 ,. . . ,   A n B n C n . Hỏi   T n   không vượt quá số nào sau đây  A   19  3 240   .   B   100  3 299   .   C   11  3 36   .   D   3 4   .  Câu 3.   Tìm các giá trị của   m   sao cho hàm số   f   ( x ) =       x 2      x   + 4      2  x      1   ,   x   6   = 1  mx   + 1 ,   x   = 1  liên tục trên  R .  A   m   = 1 2   .   B   m   = 2 5   .   C   m   =    3 4   .   D   m   = 5 4 .  Câu 4.   Cho dãy số   ( u n )   thỏa mãn  { u 1   = 2  u n +1   =   u n   + 2( n   + 1)   với   n   = 1 ,   2 ,   3 , . . .  Khi đó   lim  n  +   (   1  u 1  + 1  u 2  +      + 1  u n  )  bằng  A   +  .   B   2 .   C   1 .   D   0 .  Câu 5.   Tính   lim 1 + 3 + 5 + 7 +      + (2 n      1) (2 n   + 1) 2 ( n   + 1)      n .  A   0 .   B   +  .   C   1 2   .   D   1 4   .  Câu 6.   Tính giới hạn   T   = lim  (  16 n +1   + 4 n    16 n +1   + 3 n  )  .  A   T   = 0 .   B   T   = 1 8 .   C   T   = 1 4   .   D   T   =   1 16 .  Câu 7.   Cho phương trình   x 5   + 3 x 2      14 x      7 = 0 . Mệnh đề nào dưới đây là đúng.  A Phương trình có đúng   3   nghiệm trong   (  1; 2) .  B Phương trình có ít nhất   2   nghiệm trong   (  1; 2) .  C Phương trình không có nghiệm trong   (1; 2) .  D Phương trình có   1   nghiệm trong   (0; 1) .  Câu 8.   Cho hàm số   f   ( x ) =   ax 2   + 4 x   + 3 3 x      2 ax 2   ,   ( a      R , a   6   = 0) . Khi đó   lim  x    f   ( x )   bằng  A    1 2   .   B    .   C   +  .   D   a  3   . Trang 1/21      Mã đề 883Câu 9.   Cho hàm số   f   ( x ) =   ax 3      x   + 1 . Tìm điều kiện của   a      x   = 0 .  A   a   = 0 .   B   a   = 1 .   C   a   6   = 0 .   D    a .  Câu 10.   Cho dãy số   ( u n )   xác định bởi      u 1   = 2  u n +1   = 2 u n   + 1 5  . Tìm giới hạn   lim   u n .  A I   = 2 5 .   B   I   =   2 5   .   C   I   = 1 3   .   D   +  .  Câu 11.   Hàm số   f   ( x ) =  { ax   + 5   x      2 3 x      1   x <   2   liên tục trên   R   nếu   a   bằng  A   7 .   B   0 .   C    1 .   D   3 .  Câu 12.   Cho hàm số   f   ( x ) = tan   x   + cot   x . Nghiệm của phương trình   f    ( x ) = 0   là  A   x   =      4 +   kπ ( k      Z ) .   B   x   =     4 +   k π  2 ( k      Z ) .  C   x   =     4 +   kπ ( k      Z ) .   D   x   =      4 +   k π  2 ( k      Z ) .  Câu 13.   Tính giới hạn   lim  t  +  (  x 100      2 x 50   + 7      x 50 ) .  A   0 .   B   1 .   C    2 .   D    1 .  Câu 14.   Tìm giá trị của   m      f   ( x ) =      4      x   x   + 5      3   khi   x   6   = 4 1      m   khi   x   = 4  liên tục tại   x   = 4 .  A   m   = 2 .   B   m   = 0 .   C   m   = 7 .   D   m   =    5 .  Câu 15.   Tìm   lim  x    x 2   + 2 x   + 1 2 x      1   .  A    1 .   B   1 2 .   C   1 .   D    1 2 .  Câu 16.   Tính   lim   n   (  4 n 2   + 3      3   8 n 3   +   n ) .  A    .   B   +  .   C   1 .   D   2 3   .  Câu 17.   Tính   lim  x    (3 x 4   + 9 x 2      5) .  A    2 .   B   2 .   C    .   D   +  .  Câu 18.   Giá trị của   lim  x  0   x   + 1    x 2   +   x   + 1  x   bằng:  A    1 2   .   B    1 .   C   0 .   D    .  Câu 19.   Cho hàm số   f   ( x ) =      4      x   x      2   khi   x >   4  ax   + 8   khi   x   6   4  . Tìm   a    số.  A   a   =    3 .   B   a   =    2 .   C   a   =    1 .   D   a   =    4 .  Câu 20.   Giới hạn   lim  x  2  x 3      2 ax 2   + 4 ax      8  x 2      4   bằng  A   3      a .   B   2 a .   C   3 a  4   .   D   0 .  Câu 21.   Cho   f   ( x )   xác định trên khoảng   ( a ;   b )   chứa điểm   0   và   | f   ( x ) | ≤       x  2017 x   + 1        ,    x     ( a, b ) \ {0}. Tính   lim  x  0   f   ( x ) . Trang 2/21      Mã đề 883

218 câu vận dụng cao giới hạn ôn thi THPT môn Toán

 NHÓM   CHUYÊN ĐỀ   T    LU  N TOÁN THPT   NĂM HỌ C: 2021-2022  Trang 1  Chương   IV .   Gi   D    1.1 . Câu hỏi lý thuyết  A. PHƯƠNG PHÁP I   -   GI   Ta nói dãy s    (   ) n u   có gi  i h  n là 0 khi   n   d  n t  c, n  u   n u   có th    nh    hơn mộ t s    dương bé tuỳ       t    mộ t s    h      Kí hi  u:   lim   0 n n u   =   hay   0 n u      khi   n      .Ta nói dãy số   (   ) n v   có gi  i h  n là   a   (hay   n v d  n t  i   a   ) khi   n     u   (   ) lim   0 n n v   a      =   .  Kí hi  u:   lim   n n v   a   =   hay   n v   a    khi   n      .  M   a)   1  lim   0  n   n    =   ;   1  lim   0 k n   n  =   vớ i   k   nguyên dương;  b)   lim   0 n n q     =   n  u   |   |   1 q   <   ; c) N  u   n u   c =   (   c là h  ng s  ) thì   lim   lim n n   n u   c   c      =   =   .  Chú ý: T    nay về   sau thay cho   ~  lim   n n u   a   =   ta viế t t  t là   lim   n u   a =   .    a) N  u   lim   n u   a =   và   lim   n v   b =   thì -   (   ) lim   n   n u   v   a   b +   =   + -   (   ) lim   n   n u   v   a   b    =    -   (   ) lim   n   n u   v   a b    =    -   lim   n n u   a v   b              (n  u   ) 0 b      .  b) Nế u   lim  0,  n n u   a u   n  =            thì   lim  0  n u   a a     =         .  II . GIỚI HẠN VÔ   C  C  Ta nói dãy s    (   ) n u   có gi  i h  n là   +∞   khi   n     u   n u   có th    l  t s    dương bấ t kì, k    t    mộ t s    h      Kí hi  u:   lim   n u   = +∞   hay   n u      khi   n      .  - Dãy s    (   ) n u   có gi  i h  n là      khi   n     u   (   ) lim   n u    = +∞ Kí hi  u:   lim   n u   = −∞   hay   n u      khi   n      .  Nh    (   ) lim n   n u   u = +∞ ⇔      = −∞ .  M   a)   lim   k n   = +∞   vớ i   k   nguyên dương.  b) lim   n q   = +∞   n  u   1 q   >   .    a) N  u   lim   n u   a =   và   lim   n v   = ±∞   thì   lim   0 n n u v   =   . NHÓM   CHUYÊN ĐỀ   T    LU  N TOÁN THPT   NĂM HỌ C: 2021-2022  Trang 2  b) Nế u   lim   0, lim   0 n   n u   a   v =   >   =   và   0, n v   n >      thì   lim   n n u v   = +∞   .  c) N  u   lim   n u   = +∞   và   lim   0 n v   a =   >   thì   . lim   n   n u v   = +∞   .  B.2. Bài tập trắc nghiệ m.  Câu   1.   Phát biểu nào sau đây là   sai   ?  A.   lim   n u   c =   (   n u   c =   là h  ng s    ).   B.   lim   0 n q   =   (   ) 1 q   >   .  C.   1  lim   0  n   =   .   D.   1  lim   0 k n   =   (   ) 1 k   >   .  L  i  GVSB: Ph  m Qu  c Toàn; GVPB: Thúy Ki  u  Ch    B  Theo định nghĩa giớ i h  n h  u h  n c  a dãy s    thì   lim   0 n  q   =   (   ) 1 q   <   .  Câu 2.   Ch       trong các mệnh đề   sau?  A.   N  u   lim   n u   = +∞ , thì   lim   n u   = +∞   .   B.   N  u   lim   n u   = +∞ , thì   lim   n u   = −∞   .  C .   N  u   lim   0 n u   =   , thì   lim   0 n u   =   .   D.   N  u   lim   n u   a = −   , thì   lim   n u   a =   .  L  i  GVSB: Ph  m Qu  c Toàn; GVPB: Thúy Ki  u  Ch    C  Ta có n  u   lim   0 n u   =   , thì   lim   0 n u   =   .  Câu 3.   Trong các khẳng đị nh sau, kh   A.   lim   0 n v   =   n  u   (   ) lim   0 n v   a +   =   .   B .   lim   n v   a =   n  u   (   ) lim   0 n v   a    =   .  C.   lim   0 n v   =   n  u   (   ) lim   0 n v   a    =   .   D.   lim   n v   a =   n  u   (   ) lim   0 n v   a +   =   .  L  i  GVSB: Ph  m Qu  c Toàn; GVPB: Thúy Ki  u  Ch    B  Theo định nghĩa giớ i h  n h  u h  n c  a dãy s   lim   n v   a =   n  u   (   ) lim   0 n v   a    =   .  Câu 4.   Trong các kế t qu    sau, k  t qu    nào   sai ? N  u   lim   n u   a =   và   lim   n v   b =   thì  A.   (   ) lim   n   n u   v   a   b +   =   +   .   B .   lim   n n u   a v   b  =   .  C.   (   ) lim   n   n u   v   a   b    =      .   D.   (   ) lim   .   . n   n u v   a b =  L  i  GVSB: Ph  m Qu  c Toàn; GVPB: Thúy Ki  u  Ch    B  Theo định lý về   gi  i h  n h  u h  n, ta có:   lim   n n u   a v   b  =   (n  u   0 b      ).  Câu 5.   Trong các khẳng đị nh sau, kh   A.   Ta nói dãy s    (   ) n u   có gi  i h  n      khi   n     u   n u   có th    l  t s    dương bấ t kì, k    t    mộ t s    h    

Chuyên đề giới hạn của dãy số, giới hạn của hàm số và hàm số liên tục

BÀI GI  NG   GI  I H  N C  A HÀM S   A.   LÝ THUY  T  I.     NH NGHĨA GI  I H  N C  A HÀM S    T  I M  T ĐI  M  1. Gi  i h  n h  u h  n t  i m  t đi  m .    nh nghĩa 1:  Cho (   )  ; a b   là m  t kho  ng ch  a đi  m 0 x   và hàm s  (   )  y   f   x =   xác đ  nh trên (   )  ; a b   ho  c trên (   )       (   )  0  0 ;   \   . lim  x   x  a b   x   f   x   L     =     v  i m  i dãy s       n x   mà (   )      0   0 ;   \   , n   n x   a b   x   x   x       ta có (   )  lim   . n f   x   L =  Nh  n xét:  -   Gi  i h  n c  a hàm s      c đ  nh nghĩa thông qua khái ni  m gi  i h  n c  a dãy s  .  -   Hàm s    không nh  t thi  t ph  i xác đ  nh t  i 0 x   .    nh nghĩa 2 (Gi  i h  n m  t bên):  Cho hàm s  (   )  y   f   x =   xác đ  nh trên kho  ng (   )   (   )  0  0   ;   . lim  x   x  x   b   f   x   L +    =      v  i m  i dãy s       n x   mà 0   0 , n   n x   x   b x   x         ta có (   )  lim   . n f   x   L =  Cho hàm s  (   )  y   f   x =   xác đ  nh trên kho  ng (   )   (   )  0  0 ;   . lim  x   x  a x   f   x   L     =      v  i m  i dãy s       n x   mà 0   0 , n   n a   x   x   x   x         ta có (   )  lim   . n f   x   L =  STUDY TIP 0 x   x +    nghĩa là 0 x   x    và 0 . x   x  0 x   x     nghĩa là 0 x   x    và 0 . x   x     nh lí 1 (   )   (   )   (   )  0   0   0  lim   lim   lim   .  x   x   x   x   x   x  f   x   L   f   x   f   x   L    +         =      =   =  2. Gi  i h  n vô c  c t  i m  t đi  m .    nh nghĩa 3  Cho (   )  ; a b   là m  t kho  ng ch  a đi  m 0 x   và hàm s  (   )  y   f   x =   xác đ  nh trên (   )  ; a b   ho  c trên (   )       (   )  0  0 ;   \   . lim  x   x  a b   x   f   x     = +   v  i m  i dãy s      n x   mà (   )      0   0 ;   \   , n   n x   a b   x   x   x       ta có (   )  . n f   x   = +  Lưu ý:  Các đ  nh nghĩa (   )   (   )   (   )   (   )  0   0   0   0  lim   ; lim   ; lim   ; lim   ;  x   x   x   x   x   x   x   x  f   x   f   x   f   x   f   x +   +               = −   = +   = −   = + (   )  0  lim  x   x  f   x     = −     c  phát bi  u hoàn toàn tương t  .  3. Lưu ý:  a) (   )  f   x   không nh  t thi  t ph  i xác đ  nh t  i đi  m 0 x   .b) Ta ch    xét gi  i h  n c  a (   )  f   x   t  i đi  m 0 x   n  u có m  t kho  ng (   )  ; a b   (dù nh  ) ch  a 0 x   mà (   )  f   x   xác    nh trên (   )  ; a b   ho  c trên (   )      0 ;   \   . a b   x  Ch  ng h  n, hàm s  (   )  f   x   x =   có t  p xác đ  nh l    )  0; D   =   +    . Do đó ta không xét gi  i h  n c  a hàm s   t  i đi  m 0   0 x   =   , do không có m  t kho  ng (   )  ; a b   nào ch  a đi  m 0   mà (   )  f   x   xác đ  nh trên đó c  . Tương  t    v  y ta cũng không xét gi  i h  n c  a (   )  f   x   t  i m  i đi  m 0   0. x     c) Ta ch    xét gi  i h  n bên ph  i c  a (   )  f   x   t  i đi  m 0 x   n  u có m  t kho  ng (   )  0   ; x   b   (kho  ng n  m bên ph  i 0 x  ) mà (   )  f   x   xác đ  nh trên đó.  Tương t  , ta ch    xét gi  i h  n bên trái c  a (   ) f   x   t  i đi  m 0 x   n  u có m  t kho  ng (   )  0 ; a x   (kho  ng n  m bên  trái 0 x   ) mà (   )  f   x   xác đ  nh trên đó.  Ch  ng h  n, v  i hàm s  (   )  1 f   x   x =      , t  i đi  m 0   1 x   =   , ta ch    xét gi  i h  n bên ph  i. V  i hàm s  (   )  1 g x   x =     , t  i đi  m 0   1 x   =   , ta ch    xét gi  i h  n bên trái.  d) lim   ( )   lim   ( )   lim   ( )  o   o   o  x   x   x   x   x   x  f x   f x   f x    +         = +    =   = + lim   ( )   lim   ( )   lim   ( )  o   o   o  x   x   x   x   x   x  f x   f x   f x    +         = −    =   = −  II.     NH NGHĨA GI  I H  N C  A HÀM S    T  I VÔ C  C  1. Gi  i h  n h  u h  n t  i vô c  c .    nh nghĩa 4  Cho hàm s  ( ) y   f x =   xác đ  nh trên kho  ng (   )  ;   . lim   ( )  x  a   f x   L    +   =      v  i m  i dãy s  (   )  n  x  , n  x   a    và n  x      ta đ  u có lim   ( ) f x   L =   .  LƯU Ý:     nh nghĩa lim   ( )  x   f x   L     =     c phát bi  u hoàn toàn tương t  .  2. Gi  i h  n vô c  c t  i vô c  c .    nh nghĩa 5  Cho hàm s  ( ) y   f x =   xác đ  nh trên kho  ng (   )  ;   . lim   ( )  x  a   f x    +   = +    v  i m  i dãy s  (   )  n  x  , n  x   a    và n  x      ta đ  u có lim   ( ) f x   = +   .  LƯU Ý:   Các đ  nh nghĩa: lim   ( )   , lim   ( )   , lim   ( )  x   x   x  f x   f x   f x          = +   = −   = −     c phát bi  u hoàn toàn tương  t  .  III.   M  T S    GI  I H  N Đ  C BI  T  a) lim o  o x   x  x   x    =   .  b) lim   ; lim  o x   x   x  c   c   c   c       =   =   ( c   là h  ng s    )  c) lim   0 k x  c x    =   ( c   là h  ng s  , k   nguyên dương ).