Bài tập dãy số và cấp số – Trần Sĩ Tùng

Mô tả

I. Ph ng pháp qui n p toán h c ch ng minh m nh ch a bi n A(n) là m t m nh ng v i m i giá tr nguyên d ng n, ta th c hi n nh sau: B c 1: Ki m tra m nh ng v i n = 1. B c 2: Gi thi t m nh ng v i s nguyên d ng n = k tu 1), ch ng minh r ng m nh ng v i n = k + 1. Chú ý: N u ph i ch ng minh m nh A(n) là ng v i v i m i s nguyên d ng n p thì: + b c 1, ta ph i ki m tra m nh ng v i n = p; + b c 2, ta gi thi t m nh ng v i s nguyên d ng b t kì n = k p và ph i ch ng minh m nh ng v i n = k + 1. Baøi 1: Ch ng minh r ng v i m i n N*, ta có: a) 1 + 2 + ... + n = ( 1) 2 n n + b) 2 2 2 ( 1)(2 1) 1 2 ... 6 n n n n + + + + + = c) 2 3 3 3 ( 1) 1 2 ... 2 n n n + + + + = ê d) 2 1.4 2.7 ... (3 1) ( 1) n n n n + + + + = + e) ( 1)( 2) 1.2 2.3 ... ( 1) 3 n n n n n + + + + + + = f) 1 1 1 ... 1.2 2.3 ( 1) 1 n n n n + + + = + + Baøi 2: Ch ng minh r ng v i m i n N*, ta có: a) 2 2 1 n n > + (n 3) b) 2 2 2 5 n n + > + c) 2 2 1 1 1 1 ... 2 2 n n + + + < - (n 2) d) 1 3 2 1 1 . ... 2 4 2 2 1 n n n - < + e) 1 1 1 ... 2 2 n n + + + < f) 1 1 1 13 ... 1 2 2 24 n n n + + + > + + (n > 1) Baøi 3: Ch ng minh r ng v i m i n N*, ta có: a) 3 11 n n + chia h t cho 6. b) 3 2 3 5 n n n + + chia h t cho 3. c) 2 2 2 1 7.2 3 n n - - + chia h t cho 5. d) 3 2 n n + chia h t cho 3. e) 2 1 2 3 2 n n + + + chia h t cho 7. f) 13 1 n - chia h t cho 6. Baøi 4: Ch ng minh r ng s ng chéo c a m t a giác l i n c nh là ( 3) 2 n n - . Baøi 5: Dãy s (a n ) c cho nh sau: 1 1 2, 2 n n a a a + = = + v i n = 1, 2, ... Ch ng minh r ng v i m i n N* ta có: 1 2 cos 2 n n a + = p . CH NG III DÃY S Tr n S Tùng Trang 1II. Dãy s 1. Dãy s : * ( ) u n u n a D ng khai tri n: (u n ) = u1 , u2 , ..., u n , ... 2. Dãy s t ng, dãy s gi m (u n ) là dãy s t ng un+1 > u n v i " n N*. un+1 n > 0 v i " n N* 1 1 n n u u + > v i " n N* ( u n > 0). (u n ) là dãy s gi m un+1 < u n v i " n N*. un+1 n < 0 v i " n N* 1 1 n n u u + < v i " n N* (u n > 0). 3. Dãy s b ch n (u n ) là dãy s b ch n trên $ M R: un M, " n N*. (u n ) là dãy s b ch n d i $ m R: u n m, " n N*. (u n ) là dãy s b ch n $ m, M R: m un M, " n N*. Baøi 1: Hãy vi t 5 s h ng u c a dãy s (u n ) cho b i: a) 2 2 2 1 1 n n u n - = + b) ( 1) 2 1 n n n u n + - = + c) 2 1 1 n n u n - = + d) 1 3 n n u = - e) 2 cos n u n n = + f) ( 1)! 2 n n n u + = Baøi 2: Hãy vi t 5 s h ng u c a dãy s (u n ) cho b i: a) ( ) 1 1 1 2, 1 3 n n u u u + = = + b) 1 2 2 1 15, 9, n n n u u u u u + + = = = - c) 1 1 2 2 0, 1 n n u u u + = = + d) 1 2 2 1 1, 2, 2 n n n u u u u u + + = = - = - Baøi 3: Hãy vi t 5 s h ng u c a dãy s (u n ), d oán công th c s h ng t ng quát u n và ch ng minh công th c b ng qui n p: a) 1 1 1, 2 3 n n u u u + = = + b) 2 1 1 3, 1 n n u u u + = = + c) 1 1 3, 2 n n u u u + = = d) 1 1 1, 2 1 n n u u u + = - = + e) 1 1 1, 7 n n u u u + = = + e) 1 5 4 u = , 2 1 1 + = + n n u u : a) n n u 1 2 3 + = - b) n u n 8 = + c) n n u 1 3.2 - = d) n u 1 = - e) n u n 7 6 = - f) n n n u 1 1 2 1 2 + + + = Baøi 4: Xét tính t ng, gi m c a các dãy s (u n ) cho b i: a) 2 1 3 2 n n u n + = - b) 4 1 4 5 n n n u - = + c) ( 1) 2 n n u n - = + d) 2 2 1 1 n n n u n + + = + e) 2 cos n u n n = + f) 2 n n u n - = Baøi 5: Xét tính b ch n trên, b ch n d i, b ch n c a các dãy s (un ) cho b i: a) 2 3 2 n n u n + = + b) 1 ( 1) n u n n = + c) 2 4 n u n = + Tr n S Tùng Trang 2