Bài toán cực trị số phức

Mô tả

1 CỰC TRỊ SỐ PHỨC VÀ HÌNH HỌC Câu 1. Cho số phức z thỏa mãn điều kiện | z 1 i | + | z + 1 + 3 i | = 6 5 . Giá trị lớn nhất của | z 2 3 i | là A 5 5 . B 2 5 . C 6 5 . D 4 5 . Hướng dẫn giải Ta có | z 1 i | + | z + 1 + 3 i | = 6 5 MA + MB = 6 5 với M ( x ; y ) biểu diễn số phức z = x + yi , A ( 1; 1 ) biểu diễn số phức 1 + i , B ( 1; 3 ) biểu diễn số phức 1 3 i . Khi đó điểm M nằm trên elip tâm I có độ dài trục lớn 6 5 và A , B là hai tiêu điểm. A B C I M M | z 2 3 i | = MC với C ( 2; 3 ) biểu diễn số phức 2 + 3 i . # » AB = ( 2; 4 ) AB = 2 5 . # » AC = ( 1; 2 ) AC = 5 . Vì # » AB = 2 # » AC nên # » AB , # » AC ngược hướng và AB = 2 AC . Gọi M là điểm nằm trên elip sao cho A , B , M thẳng hàng và M khác phía A so với B . Ta có BM = 6 5 AB 2 = 2 5 . Ta thấy MC M C với mọi điểm M nằm trên elip. Do đó MC lớn nhất khi và chỉ khi M M . Khi đó MC = M C = CA + AB + BM = 5 + 2 5 + 2 5 = 5 5 . Chọn đáp án A  Câu 2. Cho số phức z thỏa mãn | z + 1 | + | z 3 4 i | = 10 . Giá trị nhỏ nhất P min của biểu thức P = | z 1 + 2 i | bằng A P min = 17 . B P min = 34 . C P min = 2 10 . D P min = 34 2 . Hướng dẫn giải z = x + yi , điểm biểu diễn của z là M ( x ; y ) . Khi đó | z + 1 | + | z 3 4 i | = 10 MA + MB = 10 với A ( 1; 0 ) và B ( 3; 4 ) . Suy ra M thuộc elip có độ dài trục lớn là 10 2 a = 10 a = 5 và hai tiêu điểm là A , B . Mà # » AB = ( 4; 4 ) AB = 4 2 2 c = 4 2 c = 2 2 . Ta có P = | z 1 + 2 i | = ( x 1 ) 2 + ( y 2 ) 2 = MH2 Với H ( 1; 2 ) . Dễ thấy A , B , H thẳng hàng nên H thuộc đoạn AB . Do đó P min MH ngắn nhất khi và chỉ khi M thuộc trục nhỏ của elip. Khi đó độ dài MH bằng một nửa trục nhỏ hay MH = b = a 2 c 2 = 17 . Chọn đáp án A  Câu 3. Cho các số phức z , w thỏa mãn | z 5 + 3 i | = 3, | iw + 4 + 2 i | = 2 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = | 3 iz + 2 w | . A 554 + 5 . B 578 + 13 . C 578 + 5 . D 554 + 13 . Hướng dẫn giải O I A B 9 4 Ta có | z 5 + 3 i | = 3 3 iz 15 i 9 3 i = 3 3 iz 9 15 i | = 9. | iw + 4 + 2 i | = 2 i 2 ( 2 w 4 + 8 i ) = 2 2 w 4 + 8 i | = 4. Gọi A và B là điểm biểu diễn của 3 iz và 2 w , khi đó A và B lần lượt thuộc các đường tròn tâm O ( 9; 15 ) bán kính bằng 9 và đường tròn I ( 4; 8 ) bán kính bằng 4 . Ta tính được OI = 554 . Khi đó T = | 3 iz + 2 w | = | 3 iz ( 2 w ) | = AB . Do IO = 554 > 4 + 9 nên hai đường tròn ngoài nhau, suy ra AB max = AO + OI + IB = 554 + 13 . Chọn đáp án D  Câu 4. Xét số phức z thỏa mãn | iz 2 i 2 | − | z + 1 3 i | = 34 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P = | ( 1 + i ) z + 2 i | . A P min = 9 17 . B P min = 3 2 . C P min = 4 2 . D P min = 26 . Hướng dẫn giải Giả sử số phức z có dạng z = a + bi , z có biểu diễn hình học là điểm M ( a ; b ) . Khi đó | iz 2 i 2 | − | z + 1 3 i | = 34 ( b + 2 ) 2 + ( a 2 ) 2 ( a + 1 ) 2 + ( b 3 ) 2 = 34. ( 1 ) Gọi điểm A ( 2; 2 ) , B ( 1; 3 ) khi đó ta có AB = 34 . Kết hợp với ( 1 ) ta suy ra MA MB = AB . M trùng với điểm B hoặc B là trung điểm của MA . Ta xét hai trường hợp sau: TH1: M trùng B M ( 1; 3 ) . Suy ra P = ( a b ) 2 + ( a + b + 2 ) 2 = 32 = 4 2. TH2: B là trung điểm của MA M ( 4; 8 ) . Suy ra P = ( a b ) 2 + ( a + b + 2 ) 2 = 180 = 6 5.