Các bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng – ba đường thẳng đồng quy

Mô tả

Nguyễn Công Lợi TÀI LI U TOÁN H C 2 CÁC BÀI TOÁN CHỨNG MINH BA ĐIỂM THẲNG HÀNG - BA ĐƯỜNG THẲNG ĐỒNG QUY A. CÁC BÀI TOÁN VỀ BA ĐIỂM THẲNG HÀNG I. Một số phương pháp chứng minh ba điểm thẳng hàng Phương pháp 1: Sử dụng góc bù nhau Nếu có 0 180 ABx xBC thì 3 điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó. Phương pháp 2: Sử dụng tiên đề về đường thẳng song song Tiên đề Ơclít: Qua một điểm ở ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được duy nhất một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho. Do đó, nếu qua điểm A ta kẻ được AB và AC cùng song song với một đường thẳng d nào đó thì A, B, C thẳng hàng. một đườngthẳng d. Phương pháp 3: Sử dụng tiên đề về đường thẳng vuông góc một đường thẳng d. Phương pháp 4: Sử dụng 2 tia trùng nhau hoặc đối nhau Nếu hai tia MA, MB trùng nhau hoặc đối nhau thì 3 điểm M, A, B thẳng hàng. Phương pháp 5: Thêm điểm chứng minh hai trong ba bộ ba điểm A, B, D; A, C, D; B, C, D thẳng hàng. Phương pháp 6: Phương pháp sử dụng hình đuy nhất thẳng hàng với C thuộc hình H nào đó. Ta gọi C’ là giao điểm của AB với hình H và tìm cánh chứng minh hai điểm C và C’ trùng nhau. Phương pháp 7: Sử dụng định lý Menelaus Cho tam giác ABC. Các điểm A’, B’, C’ lần lượt nằm trên các đường thẳng BC , CA, AB sao cho trong chúng hoặc không có điểm nào, hoặc có đúng 2 điểm thuộc các cạnh của tam giác ABC. Khi đó A’, B’, C’ thẳng hàng khi và chỉ khi ' ' ' . . 1 ' ' ' A B B C C A A C B A C B Chứng minhNguyễn Công Lợi TÀI LI U TOÁN H C 3 + Trường hợp 1: Trong 3 điểm A’, B’, C’ có đúng 2 điểm thuộc cạnh tam gi{c ABC. Giả sử l| B’, C’ - Ta có C'A AM B ' C A ' C ; C ' B A ' B B ' A AM . Vậy A'B B ' C C ' A AM A ' C A ' B . . . . 1 A ' C B ' A C ' B A ' B AM A ' C - [p dụng định lý Menelaus (phần thuận) ta có A''B B ' C C ' A . . 1 A '' C B ' A C ' B mà A'B B ' C C ' A . . 1 A ' C B ' A C ' B nên A''B A ' B A '' C A ' C . Do B’, C’ lần lượt thuộc cạnh CA, AB nên A’’ nằm ngo|i cạnh BC. Vậy A''B A ' B A '' C A ' C v| A’, A’’ nằm ngo|i cạnh BC suy ra A '' A ' . Do đó A’, B’, C’ thẳng hàng + Trường hợp 2: Trong 3 điểm A’, B’, C’ không có điểm thuộc cạnh tam gi{c ABC được chứng minh tương tự. II. Một số ví dụ minh họa Ví dụ 1. Cho hình thang ABCD có AB//CD. Gọi O l| giao điểm của hai đường chéo AC v| BD. Gọi M, N, P lần lượt l| trung điểm của AB, BC, AD. Gọi E l| trung điểm của PN. Chứng minh rằng ba điểm M, O, E thẳng h|ng. Phân tích tìm lời giải Trên cơ sở hình vẽ v| c{c yếu tố trung điểm ta nhận thấy nếu gọi K l| trung điểm của CD thì tứ gi{c MNKP l| hình bình h|nh, khi đó ba điểm M, O, E thẳng h|ng. Để có chéo nên ta thấy có c{c tam gi{c đồng dạng. Do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến chứng minh 0 KOM 180 . Lời giải Gọi K l| trung điểm của CD. Khi đó trong tam gi{c ABD có M v| P l| trung điểm của AB v| AD nên PM l| đường trung bình, do đó PM/ /BD và 1 PM BD 2 . Từ đó suy ra tứ gi{c MNKP l| hình bình h|nh, do đó hai đường chéo NP v| MK cắt nhau tại E hay ba điểm M, K, E thẳng h|ng . Dễ thấy hai tam gi{c OAB v| OCD đồng dạng nên ta được OA AB OC CD . M| lại có E O P K N M D C B A