Các bài toán tổ hợp – xác suất hay và khó

Mô tả

M XÁC SU T S U T M T CÁC DI N ĐÀN VÀ Đ THI TH TRÊN C N C CÁC BÀI TOÁN HAY VÀ KHÓ T P CHÍ VÀ TƯ LI U TOÁN H C CHINH PH C OLYMPIC TO CÁC BÀI TOÁN ĐẾM - XÁC SUẤT KHÓ Chinh Phục Olympic Toán CÁC BÀI TOÁN ĐẾM - XÁC SUẤT KHÓ Sưu tầm và L A TEX bởi Tạp chí và tư liệu toán học Cách đây một thời gian khá lâu, fanpage có đăng một tài liệu về tổ hợp và xác xuất ở mức khá giỏi và cũng nhận được những phản hồi từ phía các bạn theo dõi. Trong lần đăng bản cập nhật này các bạn sẽ nhận sung. Hy vọng tài liệu sẽ giúp ích được cho các bạn. Mục lục 1 Lý thuyết cần nhớ. 2 1.1 Xác suất có điều kiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bài toán chia kẹo của Euler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Một số kết quả của bài toán đếm có yếu tố hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2 Các bài toán tổng hợp 13 1 Lý thuyết cần nhớ. 1.1 Xác suất có điều kiện Xác suất có điều kiện của biến cố A với điều kiện B là một số được xác định bởi công thức P ( A | B ) = P ( AB ) P ( B ) nếu P ( B ) > 0. Tính chất 1. 1. P ( A | B ) > 0 . 2. P ( | B ) = P ( B | B ) = 1 , 3. Nếu A i , i = 1, . . . , n là các biến cố đôi một xung khắc thì P ( n i = 1 A i | B ) = n i = 1 P ( A i | B ) . 4. (Công thức nhân xác suất) P ( AB ) = P ( B ) P ( A | B ) = P ( A ) P ( B | A ) . Chú ý 1. Xác suất điều kiện cho phép tính xác suất xảy ra của một biến cố khi biến cố khác đã xảy ra. Trong trường hợp hai biến cố A và B B xảy ra không ảnh hưởng gì tới việc xảy ra biến cố A nên P ( A | B ) = P ( A ) . Ta được công thức nhân xác suất thông thường. Nếu B i , i = 1, . . . , n , là hệ các biến cố đôi một xung khắc sao cho n i = 1 B i = thì với biến cố A bất kì ta luôn có P ( A ) = n i = 1 P ( B i ) P ( A | B i ) . Hệ các biến cố B i ( i = 1, . . . , n ) như vậy được gọi là hệ đầy đủ. Cho biến cố A và hệ đầy đủ B i ( i = 1, . . . , n ) đều có xác suất dương. Khi đó P ( B i | A ) = P ( B i ) P ( A | B i ) P ( A ) = P ( B i ) P ( A | B i ) n i = 1 P ( B i ) P ( A | B i ) . Tài liệu được sưu tầm và L A TEX 2 h Tạp chí và tư liệu toán học