Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức – Nguyễn Tất Thu

Mô tả

Mục lục 1 Các bất đẳng thức cổ điển 3 1 Bất đẳng thức AM - GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 I. Bất đẳng thức AM - GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 II. Một số ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 III. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 I. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng đa thức . . . . . . . . . . . . . . . . 19 II. Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz dạng phân thức . . . . . . . . . . . . . . . 19 III. Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 IV. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 Một số bất đẳng thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 I. Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 1. Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2. Các trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3. Bất đẳng thức Schur mở rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 4. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 II. Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 1. Bất đẳng thức Holder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2. Trường hợp đặc biệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 III. Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 1. Bất đẳng thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 IV. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 I. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 II. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 5 Phương pháp phân tích bình phương SOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 I. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1. Một số tiêu chuẩn đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2. Một số biểu diễn cơ sở . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 II. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 III. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 6 Phương pháp dồn biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 I. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 II. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 III. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2 Các phương pháp chứng minh bất đẳng thức hiện đại 53 1 Phương pháp p, q, r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 I. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1. Bất đẳng thức Schur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 1MỤC LỤC 2. Một số biểu diễn đa thức đối xứng ba biến qua p, q, r . . . . . . 54 3. Một số đánh giá giữa p, q, r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 II. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 III. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 2 Phương pháp sử dụng tiếp tuyến và cát tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 I. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 1. Hàm lồi - Dấu hiệu hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 2. Bất đẳng thức tiếp tuyến - Bất đẳng thức cát tuyến . . . . . . . 58 II. Các ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 III. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 3 Một số chuyên đề 68 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 I. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 1. Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2. Một số kết quả . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 II. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 III. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2 Bài toán tìm hằng số tốt nhất trong bất đẳng thức . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 I. Lý thuyết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 II. Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75 III. Bài tập . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 1 Các bất đẳng thức cổ điển 86 1 Bất đẳng thức AM-GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 2 Bất đẳng thức Cauchy-Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3 Một số bất đẳng thức khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 2 Một số phương pháp chứng minh bất đẳng thức 129 1 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 2 Phương pháp phân tích bình phương SOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 3 Phương pháp dồn biến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 4 Phương pháp p, q, r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148 5 Phương pháp tiếp tuyến và cát tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 3 Một số chuyên đề 156 1 . . . . . . . . . . . . . . . 156 2 Bài toán tìm hằng số tốt nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159 2