Đề chọn đội tuyển HSG Toán năm 2020 sở GD&ĐT Khánh Hòa (vòng 1).

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN KHÁNH HÒA THI HSG THPT CẤP QUỐC GIA NĂM 2020 Môn thi: TOÁN (Vòng 1) (Đề thi có 01 trang) Ngày thi: 19/9/2019 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề) Bài 1. (4,0 điểm) Giải hệ phương trình: 3 3 3 3 4 2 4 6 2 4 3 4 2 4 6 2 4 3 4 2 4 6 2 4 x x y y y y z z z z x x ( , , ). x y z Bài 2. (6,0 điểm) a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n , tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương ; a b sao cho 1 ( 1)( 2) . 2 n a b a b a b) Cho dãy số n u xác định bởi 1 5 u , 1 1 n n n u u u với mọi 1. n Tìm phần nguyên của 209 . u Bài 3. (4,0 điểm) Một nhóm phượt có n thành viên. Năm 2018, họ thực hiện sáu chuyến du lịch mà mỗi chuyến có Tìm giá trị nhỏ nhất của n . Bài 4. (4,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân có đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD . Qua N thuộc đoạn thẳng AD ( N không trùng với A và D ), kẻ NP vuông góc với AB ( P thuộc cạnh AB ). Đường thẳng qua P vuông góc với AD cắt đoạn thẳng AM tại Q . Chứng minh rằng QN vuông góc với BC . Bài 5. (2,0 điểm) Cho x , y , z là các số thực dương thỏa mãn ( ). xy yz zx xyz x y z Chứng minh rằng 1 1 1 1. 2 1 2 1 2 1 x y z --------------- HẾT ---------------Trang 2/8 – Diễn đàn giáo viên Toán S HOÀ GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2019 – 2020 MÔN THI: TOÁN (ngày 1) Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) Bài 1. ( 3 điểm ) Giải hệ phương trình 3 3 3 3 4 2 4 6 2 4 3 4 2 4 6 2 4 3 4 2 4 6 2 4 x x y y y y z z z z x x + + = + + + = + + + = + . Lời giải 3 3 3 x y z . Xét hàm ( ) 3 4 2 f t t t = + + và ( ) 3 4 6 2 4 g t t t = + trên ( ] ;3 . Hệ phương trình trở thành ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 3 f x g y f y g z f z g x = = = Ta có ( ) 2 3 4 0 f t t = + > ( ] ;3 t Hàm số ( ) 3 4 2 f t t t = + + ( ] ;3 . ( ) ( ) 2 3 4 0 6 2 4 g t t t = − < ( ) ;3 t ( ) 3 4 6 2 4 g t t t = + nghịch biến trên ( ] ;3 . Không mất tính tổng quát ta giả sử { } ; ; x max x y z = . Khi đó ta có x y ; x z . x y (*) ( ) ( ) f x f y (vì hàm ( ) f t ( ) ( ) g y g z (vì hàm ( ) g t nghịch biến), kết hợp hệ phương trình y z ( ) ( ) f y f z ( ) ( ) g z g x z x (**). Từ (*) và (**) ta suy ra x z = ( ) ( ) f x f z = ( ) ( ) g y g x = y x = . Vậy ta có x y z = = . Từ hệ phương trình ta suy ra ( ) ( ) f x g x = 3 3 4 2 4 6 2 4 x x x x + + = + 3 3 4 2 4 6 2 0 4 x x x x + + = . Xét hàm ( ) 3 3 4 2 4 6 2 4 h x x x x x = + + trên ( ] ;3 .