Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 – 2023 sở GD&ĐT Quảng Bình

Mô tả

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2022-2023 Khóa ngày 20 tháng 9 năm 2022 Môn thi: TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC BÀI THI THỨ NHẤT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề gồm có 01 trang và 04 câu SỐ BÁO DANH:…………… u1 = 2022 Câu 1 (5,0 điểm). Cho dãy số (un ) thỏa mãn n + 2022 = + u u , ∀n ∈ *. 1 n n + nun a) Chứng minh rằng lim un = +∞. un2 . b) Tìm giới hạn lim 2n + 1 Câu 2 (5,0 điểm). Cho P ( x) là đa thức monic bậc n (với n ∈ * ) có đúng n nghiệm thực phân biệt. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực a mà P(a 2 + 4a + 2022) = 0. Chứng minh rằng đa thức P ( x 2 + 4 x + 2022) chia hết cho đa thức ( x + 2) 2 và P(2022) ≥ 4n. Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB = AC , I là tâm đường tròn nội tiếp và (T ) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Các đường thẳng BI và CI lần lượt cắt (T ) tại điểm thứ hai là M và N . Gọi D là điểm thuộc (T ) , nằm trên cung BC không chứa A ; E , F lần lượt là các giao điểm của AD với BI và C