Đề chọn HSG Toán 8 năm 2015 – 2016 phòng GD&ĐT huyện Sơn Dương – Tuyên Quang

Mô tả

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG NĂM HỌC 2015-2016 Môn thi: TOÁN Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi gồm có 01 trang) Câu 1. (4 điểm ) a) Ph©n tÝch ®a thøc thμnh nh©n tö: 2 ( 2)( 2 2) 1 x x x x b) Rút gọn biểu thức: A = 2 2 2 2 ) 1 ( 1 2 ... ) 4 . 3 ( 7 ) 3 . 2 ( 5 ) 2 . 1 ( 3 n n n Câu 2. (4 điểm) a) Cho . 0 1 1 1 z y x Tính 2 2 2 z xy y xz x yz A b) Tìm tất cả các số x, y, z nguyên thỏa mãn: 2 2 2 4 0. x y z xy y z Câu 3 : (4 điểm) a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì : A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương. b) Cho 1 2 2016 , ,..., a a a là các số tự nhiên có tổng chia hết cho 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 1 2 2016 ... A a a a chia hết cho 3. Câu 4. (6 điểm) Cho điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng bờ AB vẽ các hình vuông AMCD, BMEF. a) Chứng minh rằng: AE BC. b) Gọi H là giao điểm của AE và BC. Chứng minh ba điểm D, H, F thẳng hàng. c) Chứng minh rằng đường thẳng DF luôn đi qua một điểm cố định khi điểm M di động trên đoạn thẳng AB. Câu 5. (2 điểm) Cho a;b;c là ba số đôi một khác nhau thỏa mãn: 2 2 2 2 ) ( c b a c b a Tính giá trị của biểu thức: P= ab c c ac b b bc a a 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ---------------------------------------------------------------------------- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm - SBD:....................... PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO HUYỆN SƠN DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 8 NĂM HỌC 2015 - 2016 Môn thi : Toán Câu Phần Nội dung Câu 1 (4 a 2đ 2 ( 2)( 2 2) 1 x x x x 2 2 ( 2 )( 2 2) 1 x x x x 2 2 2 ( 2 ) 2( 2 ) 1 x x x x = 2 2 ( 2 1) x x 4 ( 1) x 0.5 0.5 0.5 0.5 b 2đ Ta có : 2 2 2 2 2 2 2 ) 1 ( 1 1 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 1 2 n n n n n n n n n => B = ...=1- 2 2 ) 1 ( ) 2 ( ) 1 ( 1 n n n n 1 1 Câu 2 ( 4 a 2đ Ta cã 0 c b a th× abc c c ab c c b a ab b a c b a 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 (v× 0 c b a nªn c b a ) Theo gi¶ thiÕt . 0 1 1 1 z y x . 3 1 1 1 3 3 3 xyz z y x 2 2 2 3 3 3 3 3 3 1 1 1 3 . 3 yz xz xy xyz xyz xyz A x y z x y z xyz xyz x y z xyz 0.5 0.5 0.5 0.5 b 2đ x 2 + y 2 + z 2 <=> (x 2 4 2 y ) + (z 2 4 3 y 2 <=> (x - 2 y ) 2 + (z – 1) 2 + 4 3 (y – 2) 2 = 0 Có các giá tr là: (1;2;1) 1 0,5 0.5 Câu 3 (4 a 2đ a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên x, y thì A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 là số chính phương. Ta có A = (x + y)(x + 2y)(x + 3y)(x + 4y) + y 4 = (x 2 + 5xy + 4y 2 )( x 2 + 5xy + 6y 2 ) + y 4 2 + 5xy + 5y 2 = t ( t Z) thì A = (t - y 2 )( t + y 2 ) + y 4 = t 2 4 + y 4 = t 2 = (x 2 + 5xy + 5y 2)2 V ì x, y, z Z nên x 2 Z, 5xy Z, 5y 2 Z x 2 + 5xy + 5y 2 Z 0.5 0.5 0.5 0.5