Đề giao lưu HSG Toán 8 năm 2016 – 2017 phòng GD&ĐT Tam Dương – Vĩnh Phúc

Mô tả

PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG NĂM HỌC 2016 - 2017 MÔN: TOÁN 8 Thời gian làm bài: 120 phút, không kể thời gian giao đề m 01 trang Chú ý: Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay! Câu 1. (2,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức x y P x y . Biết 2 2 x 2y xy x y 0, y 0 . b) Tìm x, y nguyên dương thoả mãn: x 2 2 + 2x – 4y – 10 = 0. Câu 2. (2,0 điểm) a) Tìm số dư trong phép chia của đa thức x 2 x 4 x 6 x 8 2017 cho đa thức 2 x 10x 21 . b) Cho A = n 6 + 10n 4 + n 3 + 98n – 6n 5 3 n Z thì thương của phép chia A cho B là bội số của 6. Câu 3. (2,0 điểm) a) Cho a và b thỏa mãn: a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức B = a 3 + b 3 + 3ab. b) Cho các số thực dương , , x y z thỏa mãn 3 x y z . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 1 1 P x x y y z z . Câu 4. (3,0 điểm) Cho tam giác ABC, đường trung tuyến AM. Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song với AM cắt đường thẳng AB và AC lần lượt tại E và F. a) Chứng minh DE + DF = 2AM. b) Đường thẳng qua A song song với BC cắt EF tại N. Chứng minh N là trung điểm của EF. c) Kí hiệu S X là diện tích của hình X. Chứng minh S 2 FDC 16 S AMC .S FNA . Câu 5. (1,0 điểm) Trong một đề thi có 3 bài toán A, B, C. Có 25 học sinh mỗi người đều đã giải được - Trong số thí sinh không giải được bài A thì số thí sinh đã giải được bài B nhiều gấp hai lần số thí sinh đã giải được bài C. - Số học sinh chỉ giải được bài A nhiều hơn số thí sinh giải được bài A và thêm bài khác là một người. - Số thí sinh chỉ giải được bài A bằng số thí sinh chỉ giải được bài B cộng với số thí sinh chỉ giải được bài C. Hỏi có bao nhiêu thí sinh chỉ giải được bài B? ------------- Hết ------------- Giám thị coi thi không giải thích gì thêm! Họ tên thí sinh...................................................................Số báo danh.................Phòng thi.................. TH PHÒNG GD&ĐT TAM DƯƠNG HƯỚNG DẪN CHẤM THI GIAO LƯU HSG LỚP 8 CẤP HUYỆN NĂM HỌC: 2016 -2017 MÔN: TOÁN 8 Câu N Câu1 2 điểm a)x 2 2 = xy x 2 2 = 0 (x + y)(x – 2y) = 0 Vì x + y ≠ 0 nên x – 2y = 0 x = 2y . Khi đó P = 2 1 2 3 3 y y y y y y 0,25 0,25 0,5 b) Ta có : x 2 - y 2 + 2x - 4y - 10 = 0 (x 2 +2x+1) - (y 2 +4y+4) – 7 = 0 (x+1) 2 - (y+2) 2 = 7 (x – y - 1)(x + y + 3) = 7 Vì x, y nguyên dương nên x + y + 3 > x – y – 1 > 0 x + y + 3 = 7 và x – y – 1 = 1 x = 3; y = 1 Phương tr ; 1) 0,25 0,5 0,25 Câu 2 2 điểm a) Ta có 2 2 ( ) 2 4 6 8 2017 10 16 10 24 2017 P x x x x x x x x x 2 10 21 ( 3; 7) t x x t t , biểu thức P(x) được viết lại: 2 ( ) 5 3 2017 2 2002 P x t t t t Do đó khi chia 2 2 2000 t t cho t ta có số dư là 2002 Vậy số dư phải tìm là 2002. 0,25 0,5 0,25 Thực hiện phép chia, ta được: Thương của A chia cho B là n 3 2 + 11n – 6 Ta có: 3 2 3 2 2 6 11 6 12 6 6 ( 1) .( 1) 6.(2 1) n n n n n n n n n n n n Vì (n-1).n.(n+1) là tích của 3 số nguyên liên tiếp nên tích đó vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3 suy ra tích đó chia hết cho 6 Mặt khác 6(2n-n 2 -1) chia hết cho 6 => T h¬ng cña phÐp chia A cho B lμ béi sè cña 6 0,25 0,25 0,25 0,25