Đề học sinh giỏi Toán 7 năm 2020 – 2021 phòng GD&ĐT Yên Định – Thanh Hóa

Mô tả

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH Năm học 2020 - 2021 Môn: Toán 7 Thời gian: 120 phút ( không kể thời gian giao đề ) Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Đ có 01 trang, g Câu I: (5,0 điểm) 1. Thực hiện phép tính: . 512 5 . 2 16 3 : 4 9 5 . 5 2 2 7 3 3 7 7 A 2. Cho 25 9 16 25 9 16 z y x và 11 5 2 3 x . Tính 2021 z y x B . 3. Cho biểu thức x y z t M x y z x y t y z t x z t với x, y, z, t là các số tự nhiên khác 0. Chứng minh 10 1025 M . Câu II: (5,0 điểm) 1. Tìm x, biết: . 2015 2013 1 2 ... 5 . 4 2 4 . 3 2 3 . 2 2 x x 2. Cho x, y, z 0 và 0 z y x . Tính giá trị biểu thức z y y x x z P 1 1 1 . 3. Tìm số tự nhiên n để phân số 3 2 8 7 n n có giá trị lớn nhất. Câu III: (4,0điểm) 1. Tìm một số chính phương có 4 chữ số biết rằng 2 chữ số đầu giống nhau, 2 chữ số cuối giống nhau. 2. Tìm các số nguyên dương n và các số nguyên tố p sao cho 1 2 1 n n p . Câu IV: (5,0 điểm) . Cho ABC có góc A nhỏ hơn 90 0 . Trên nửa mặt phẳng bờ AB không chứa điểm C vẽ đoạn thẳng AM sao cho AM vuông góc với AB và AM = AB, trên nửa mặt phẳng bờ AC không chứa điểm B vẽ đoạn thẳng AN sao cho AN vuông góc với AC và AN = AC. a) Chứng minh rằng: AMC = ABN. b) Chứng minh: BN CM. c) Kẻ AH BC (H BC). Chứng minh AH đi qua trung điểm của MN. Câu V: (1,0 điểm) Cho các số thực dương a và b thỏa mãn: 102 102 101 101 100 100 b a b a b a Hãy tính giá trị của biểu thức: . 2015 2014 b a P ---------------- Hết --------------- Thí sinh không sử dụng máy tính cầm tay và tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.2 PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN ĐỊNH Hướng dẫn chấm Năm học 2020 - 2021 Môn: Toán Ngày 02 tháng 02 năm 2021 (Hư trang, g Câu Nội dung I (5đ) 1. . 2 1 2 5 2 3 2 2 2 . 2 5 . 2 12 2 2 . 2 5 . 2 16 3 : 4 9 5 . 5 2 512 5 . 2 16 3 : 4 9 5 . 5 2 2 2 7 3 6 2 7 2 7 3 7 2 7 2 7 3 7 2 7 3 3 7 7 A 2.0 2. Ta có: 2x 3 x 3 = 8 x = 2 Do đó: 2 25 9 16 25 25 9 16 25 9 16 2 z y z y y = 16.2 + 25 = 57; z = 25.2 – 9 = 41 Vậy B = 2 – 57 + 41 + 2021 = 2007. 0,5 0,75 0,25 3. + Ta có: x x x y z x y ; y y x y t x y ; z z y z t z t ; t t x z t z t M < ) t z t t z z ( ) y x y y x x ( => M < 2 + Có M 10 < 2 10 (Vì M > 0) mà 2 10 = 1024 < 1025 Vậy M 10 < 1025 0.5 0,5 0,25 0.25 II (5đ) 1. 2015 2013 1 2 ... 5 . 4 2 4 . 3 2 3 . 2 2 x x 2015 2013 1 1 1 ... 5 1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 x x . 2014 2015 2 1 2 2015 2013 1 2 1 2015 2013 1 1 2 1 2 x x x x 1,0 1.0 2. Ta có: z y z y x y x z x z y y x x z P . . 1 1 1 Từ x y z z x y y z x z y x ; ; 0 Suy ra: 1 . . z x y z x y P (vì x, y, z 0) 0,5 0,5 0,5 3. Ta có: . 3 2 2 5 2 7 3 2 2 5 3 2 7 3 2 2 8 7 2 3 2 8 7 n n n n n n n Phân số đã cho có giá trị lớn nhất khi và chỉ khi 3 2 2 5 n lớn nhất. Từ đó suy ra: 2n-3=1 . 2 n Vậy giá trị lớn nhất của phân số đã cho bằng 6 khi . 2 n 0,5 0,5 0,5 III (4,0đ)