Đề thi Olympic 24/3 Toán 11 năm 2021 sở GD&ĐT Quảng Nam

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2021 Môn thi : TOÁN LỚP 11 Thời gian : 150 phút (không kể thời gian giao đề) (Đề thi có 01 trang) Ngày thi : 20/3/2021 Câu 1 (3,0 điểm). Giải các phương trình sau: a) 2 2 4cos 4cos 2 .cos 6sin .cos 1 0 x x x x x + = b) 3 4 sin cos 1 x x + = Câu 2 (4,0 điểm). a) Cho dãy số gồm có ba số hạng 1 2 3 , , u u u theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Nếu ta trừ số hạng thứ ba cho 4 thì dãy thu được là một cấp số cộng. Nếu trừ số hạng thứ hai và thứ ba của cấp số cộng vừa thu được cho 1 thì dãy thu được là một cấp số nhân. Tìm dãy số 1 2 3 , , u u u . b) Cho dãy số ( ), n u biết: 0 1 1, 1 u u = = và 1 1 ( 1) ( 1) ( 2) , 1 n n n n n u n n u n u n + + = . Chứng tỏ rằng 1 ( 1). 0, 1 n n n u u n + + = và tính tổng 0 2020 1 1 2 2021 ... u u u S u u u = + + + . Câu 3 (6,0 điểm). a) Cho số nguyên dương n . Chứng minh rằng: 0 2 1 2 2 2 (C ) (C ) ... (C ) C n n n n n n + + + = b) Gọi X là tập hợp tất cả các số tự nhiên có năm chữ số được lập từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X . Tính xác suất để số được chọn có đúng ba chữ số giống nhau. c) Cho hàm số 2 2 3 1 2 khi 1 1 ( ) ( 2) khi 1 3 x x x f x a x x x + > =  . Tìm giá trị của tham số a để hàm số ( ) f x liên tục tại 1 x = . Câu 4 (3,0 điểm). a) Trong mặt phẳng vớ i h t Oxy , cho hai đường tròn (C) và (C') với phương trình 2 2 ( ') : 4 2 11 0 C x y x y + + = . Biết rằng phép vị t tâm A(0;1) t số 2 k = bi (C) thành đường tròn (C') . Vi (C) . b) Trong mặt phẳng, cho tam giác ABC đều. Tìm tập hợp những điểm M nằm trong tam giác ABC sao cho 2 2 2 MA MB MC = + . Câu 5 (4,0 điểm). Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có , 2 , ' 2 5 AB a AC a AA a = = = và góc 0 120 BAC = . Gọi M là trung điểm cạnh CC’ . a) Chứng minh MB vuông góc với MA’ . b) Tính khoảng cách từ A A’BM ) theo a . Hết Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ............................................. Số báo danh: .................. SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO QUẢNG NAM KỲ THI OLYMPIC 24/3 TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2021 Môn thi: TOÁN Lớp 11 THANG ĐIỂM ( Thang điểm gồm 06 trang) Câu 1 (3,0 điểm) a 2 2 4cos 4cos 2 .cos 6sin cos 1 0 x x x x x + = 1,5 ( ) 2 pt 4cos 1 cos 2 3sin 2 1 0 x x x + = 0.25 ( ) 2(1 cos 2 ) 1 cos 2 3sin 2 1 0 x x x + + = 0.25 ( ) 2 2 1 cos 2 3sin 2 1 0 x x + = 2 2sin 2 3sin 2 1 0 x x + = 0.25 sin 2 1 1 sin 2 2 x x = = ( 0.25 ) 4 12 5 12 x k x k x k = + = + = + ( 0.5 ) 0.75 b 3 4 sin cos 1 x x + = 1,5 3 4 3 4 2 2 sin cos 1 sin cos sin cos x x x x x x + = + = + 0.25 ( ) 2 2 2 sin (1 sin ) cos 1 cos 0 x x x x + = 0.25 ( ) 2 2 2 sin (1 sin ) sin 1 sin 0 x x x x + = 0.25 2 sin (1 sin )(2 sin ) 0 x x x + = 0.25 sin 0 sin 1 2 2 x x k x x k = = = = + ( k ). Vậy phương trình có nghiệm là: , 2 2 x k x k = = + 0.5 Câu 2 (4,0 điểm) a Cho dãy số gồm có ba số hạng 1 2 3 , , u u u theo thứ tự lập thành một cấp số nhân. Nếu ta trừ số hạng thứ ba cho 4 thì dãy thu được là một cấp số cộng. Nếu trừ số hạng thứ hai và thứ ba của cấp số cộng vừa thu được cho 1 thì dãy thu được lại là một cấp số nhân. Tìm dãy số 1 2 3 , , u u u . 2,0 1 2 3 , , u u u theo thứ tự lập thành một cấp số nhân 2 2 1 3 . (1) u u u = 0.25 1 2 3 , , 4 u u u theo thứ tự lập thành một cấp số cộng 2 1 3 2 4 (2) u u u = + 0.25 1 2 3 , 1, 5 u u u theo thứ tự lập thành một cấp số nhân 2 2 1 3 ( 1) .( 5) (3) u u u = 0.25