Đề học sinh giỏi Toán 9 năm 2021 – 2022 phòng GD&ĐT thành phố Bắc Ninh

Mô tả

UBND THÀNH PHỐ BẮC NINH PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ (Đề thi có 01 trang) KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP THÀNH PHỐ NĂM HỌC 2021-2022 Môn: Toán - Lớp 9 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian giao đề) ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ Câu 1. (4,0 điểm) 1) Cho 3 3 2 4 x . Tính giá trị biểu thức 5 3 2 5 6 6 3 A x x x x . 2) Cho Parabol 2 ( ) : P y x và đường thẳng ( ) : 4 d y mx ( m là tham số). Chứng minh đường thẳng ( ) d luôn cắt đồ thị ( ) P tại hai điểm phân biệt , A B . Tìm m giác OAB bằng 8 . Câu 2. (4,0 điểm) 1) Giải hệ phương trình 2 ( 3) 4( 1)(3 ) 5 3 2 2 2 2 x y y x x y xy y . 2) Cho các số thực dương , , a b c thỏa mãn 1 1 1 a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 1 4 P a b c a b c . Câu 3. (4,0 điểm) 1) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho mỗi số 26 n và 11 n phương của một số nguyên dương. 2) Tìm tất các số nguyên tố p sao cho tổng tất cả các ước số tự nhiên của 4 p là một số chính phương. Câu 4. (7,0 điểm) 1) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn ; O R có , B C cố định. Các đường cao , , AD BE CF của tam giác ABC H . Đường thẳng chứa tia phân giác ngoài của BHC cắt , AB AC lần lượt tại , M N . a) Chứng minh rằng tam giác AMN cân. b) Chứng minh OA vuông góc với EF ; . AD BC DE EF FD R . c) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN cắt đường phân giác của BAC tại K K A . Chứng minh rằng HK luôn đi qua một điểm cố định khi A thay đổi. 2) Cho hình vuông ABCD và MNPQ có bốn đỉnh , , , M N P Q lần lượt thuộc các cạnh , , , AB BC CD DA của hình vuông. Chứng minh rằng ABCD S . 4 AC MN NP PQ QM . Câu 5. (1,0 điểm) Cho mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bằng một trong hai màu xanh, đỏ. Chứng minh rằng tồn tại một tam giác mà ba đỉnh và trọng tâm cùng màu. ---------- HẾT ----------UBND THÀNH PH B C NINH PHÒNG GIÁO D C VÀ ĐÀO T O ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ (Hư ng d n có 0 4 trang) HƯ NG D N CH M K THI CH N H C SINH GI I C P THÀNH PH NĂM H C 2021 - 2022 Môn: Toán - L p 9 ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ ̄ Câu m 1.1. ( 2,0 m) 3 3 3 2 4 6 6 0 x x x 1,0 5 3 2 3 2 5 6 6 3 6 6 1 9 A x x x x x x x 3 A . V y 3 A 1,0 1.2. ( 2,0 m) Phương trình hoành đ giao đi m c a d và P là: 2 2 4 4 0 x mx x mx . Ta c 2 16 0 m , v i m i m nên phương trình luôn có 2 nghi m phân bi t, suy ra ng th ng d luôn c t P t i hai đi m phân bi t. d luôn đi qua đi m c nh 0; 4 I n m trên tr c tung. Ngoài ra n u g i 1 1 2 2 ; , ; A x y B x y thì 1 2 . 4 0 x x nên hai giao đi m , A B n m v hai phía tr c tung. 1,0 Gi s 1 2 0 x x thì ta có 1 1 . . 2 2 OAB OAI OBI S S S AH OI BK OI v i , H K l n lư t là hình chi u vuông góc c a đi m , A B trên tr c Oy . Ta có 1 1 2 2 4, , OI AH x x BK x x . Suy ra 2 1 2 OAB S x x 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 4 4 OAB S x x x x x x . Theo đ nh lý Viet ta có: 1 2 1 2 , 4 x x m x x . Thay vào ta có: 2 2 4 16 64 0 OAB S m m . 1,0 2.1. (2,0 đi m) 2 ( 3) 4( 1)(3 ) 1 5 3 2 2 2 2 2 x y y x x y xy y u ki n: 2 ; 3; 3 3 y x y x . Phương trình (1) tương đương 2 ( 3) 4( 1)(3 ) x y y x 2 2 2 2 6 9 12 12 4 4 2 (5 2 ) 12 12 9 0 x x y y xy x x x y y y Coi đây là phương trình b c 2 c a x ta có: 2 2 2 ' (2 5) 12 12 9 4 4 y y y y suy ra 5 2 (4 4) 6 9 5 2 (4 4) 2 1 x y y y x y y y Trư ng h p 1: 6 9 x y . Do 3 x 6 9 3 1 y y suy ra phương trình vô nghi m. 1,0 Trư ng h p 2: 2 1 x y thay vào phương trình 2 c a h ta có: 1,0