Đề khảo sát HSG lần 1 Toán 9 năm 2017 – 2018 trường THCS Thanh Lãng – Vĩnh Phúc

Mô tả

PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN TRƯỜNG THCS THANH LÃNG NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN 9 Thời gian làm bài: 150 phút không kể thời gian giao đề Câu 1: a) Tính giá trị của thức 4 2016 ( ) ( 3 1) f x x x = + tại 1 1 9 9 9 5 5 4 4 x = + + b) So sánh 2 2 2017 1 2016 1 và 2 2 2.2016 2017 1 2016 1 + c) Tính giá trị biểu thức: 2 2 sin cos sin .cos 1 cot 1 tan x x x x x x + + + + với 0 0 < x < 90 0 d) Biết 5 là số vô tỉ, hãy tìm các số nguyên a, b thỏa mãn: 2 3 9 20 5 a b 5 a b 5 = − + Câu 2: Giải phương trình sau: 3 2 1 3 3 1 2 3 = x x x x Câu 3: a) Cho đa thức P(x) = ax 3 + bx 2 + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d . b) Tìm n ghiệm nguyên của phương trình: x 2 xy + y 2 4 = 0 c) Cho n là số tự nhiên lớn hơn 1. Chứng minh rằng n 4 + 4 n là hợp số. Câu 4: a) Chứng minh rằng 2 4 4 b a + 2 2 3 3 b a b a ab + b) Cho a, b, c là 3 số dương thỏa mãn điều kiện 1 1 1 + + =2 a + b + 1 b + c + 1 c + a + 1 Tìm giá trị lớn nhất của tích (a + b)(b + c)(c + a). Câu 5: Cho ABC nhọn, có ba đường cao AD, BI, CK cắt nhau tại H. Gọi chân các đường vuông góc hạ từ D xuống AB, AC lần lượt là E và F . a) Chứng minh rằng: AE.AB = AF.AC b) Giả sử HD = 1 3 AD. Chứng minh rằng: tanB.tanC = 3 c) Gọi M, N lần lượt là chân vuông góc kẻ từ D đến BI và CK. Chứng minh rằng: 4 điểm E, M, N, F thẳng hàng. --------------------- Hết ---------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay khi làm bài. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.PHÒNG GD&ĐT BÌNH XUYÊN TRƯỜNG THCS THANH LÃNG HDC KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG HSG_LẦN 1 NĂM HỌC 2017 - 2018 MÔN: TOÁN 9 Câu Câu 1 a) 1đ 2 2 2 2 9 5 2 5 2 x = + + 2 2 9 5 2 5 2 = + + = ( ) 2 2 2 5 4 2 5 4 9 9 8 1 5 2 + + = = 0.75 ( ) (1) 1 f x f = = 0.25 b) 1đ Ta có 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 2017 1 2016 1)( 2017 1 2016 1) 2015 1 2014 1 2017 1 2016 1 + = + 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 (2015 1) (2014 1) 2017 2016 (2017 2016)(2017 2016) 2017 1 2016 1 2017 1 2016 1 2017 1 2016 1 + = = = + + + 0.5 2 2 2 2 2017 2016 2.2016 2017 1 2016 1 2017 1 2016 1 + = + + Vậy 2 2 2017 1 2016 1 > 2 2 2.2016 2017 1 2016 1 + 0.5 c) 1đ 2 2 sin cos sin .cos cos sin 1 1 sinx cos x x x x x x x + + + + 0.25 3 3 sin cos sin .cos 1 cos 1+sinx x x x x x = + + + 0.25 ( ) ( ) 2 2 3 3 sinx cos sin sinx.cos cos sin cos sin .cos sin .cos sinx cos sinx cos x x x x x x x x x x x x + + + = + = + + + 0.25 sin .cos 1 sin .cos 1 x x x x = + = 0.25 d) a b 5 (*) 2 3 9 20 5 a b 5 a b 5 2(a b 5) 3(a b 5) (9 20 5)(a b 5)(a b 5) = − + + = − + + 2 2 2 2 9a 45b a 5( 20a 100b 5b) = + + (*) Ta thấy (*) có dạng A B 5 = trong đó A, B Q , nếu A B 0 thi 5 I B = vô lí vậy B = 0 => A= 0. Do đó (*) 2 2 2 2 9a 45b a 0 20a 100b 5b 0 = + + = 2 2 2 2 2 2 9a 45b a 0 9a 45b a 0 9 9 9a 45b b 0 a b 4 4 = = + + = = 2 9 a b a 9 a 0 hoac 4 b 4 b 0 b 4b 0 = = = = = = (không t/m ĐK (*)). Vậy a = 9; b = 4