Đề Olympic Toán 11 năm 2019 cụm THPT Thanh Xuân & Cầu Giấy & Thường Tín – Hà Nội

Mô tả

1 S C VÀ ĐÀO T C M TRƯ NG THPT THANH XUÂN - C U GI Y - THƯ NG TÍN OLYMPIC MÔN TOÁN 1 1 NĂM H C 2018 2019 Môn: Toán Th i gian: 12 0 phút (Không k th i gian phát đ ) Câu 1. Gi 1) 1 3 sin 2 cos 2 x x . 2) 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8 x x x x . Câu 2. 1) Hoa có 11 bì thư và 7 tem thư khác nhau. Hoa cầ n g i b n, m H i Hoa có bao nhiêu cách ch i bì thư để g 2) M t bài thi tr c nghi m khách quan g m 5 câu h i, m l có 1 phương án trả l m t h c sinh làm bài thi tr l i c ít nh t 3 câu h i? Câu 3. Tìm h s c a s h ng ch a 10 x trong khai tri a bi u th c 2 3 n x bi t n là s nguyên dương thỏ a mãn h th c 1 2 20 2 1 2 1 2 1 ... 2 1 n n n n C C C . Câu 4. 1) Tính giới hạn sau 2 3 1 7 5 lim 1 x x x x . 2) Cho tam giác ABC có độ dài 3 cạnh lập thành một cấp số nhân. Chứng minh rằng tam giác 0 60 . Câu 5. Cho t di n ABCD . 1) G i , , E F G l t là tr ng tâm các tam giác , , ABC ACD ABD . a) Ch ng minh / / EFG BCD . b) Tính di n tích tam giác EFG theo di n tích c a tam giác BCD . 2) M là điể m thu c mi n trong c a tam giác BCD . K qua M ng th ng // d AB . a) Xác định giao điể m B c ng th ng d và m t ph ng ACD . b) K qua M các đườ ng th ng l t song song v i AC và AD c t các m t ph ng , ABD ABC theo th t t i , C D . Ch ng minh r ng: 1 MB MC MD AB AC AD . c) Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c AB AC AD T MB MC MD . ----------------H T----------------- Thí sinh không đượ c s d ng tài li u và máy tính c m tay. Giám th coi thi không gi i thích gì thêm. H và tên thí sinh:............................................................ S báo danh:..................................................................2 HƯỚ NG D N GI I CHI TI T Câu 1. Gi 1) 1 3 sin 2 cos 2 x x 2) 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8 x x x x L i gi i 1) 1 3 sin 2 cos 2 x x 3 sin 2 cos 2 1 x x 3 1 1 sin 2 cos 2 2 2 2 x x 1 cos sin 2 sin cos 2 6 6 2 x x 2 2 1 6 6 sin 2 sin 6 2 6 2 2 6 6 x k x x k 2 3 x k x k . 2) 9sin 6cos 3sin 2 cos2 8 x x x x 6cos 3sin 2 cos 2 9sin 8 0 x x x x 2 6cos 6sin cos 1 2sin 9sin 8 0 x x x x x 2 6cos . 1 sin 2sin 9sin 7 0 x x x x 6cos . 1 sin 2sin 7 sin 1 0 x x x x sin 1 6cos 2sin 7 0 x x x sin 1 2 2 6 cos 2sin 7 * x x k x x Phương trình * vô nghi m vì có 2 2 2 40 49 a b c . V m là 2 2 x k . Câu 2. 1) Hoa có 11 bì thư và 7 tem thư khác nhau. Hoa cầ n g i b n, m i 1 thư. Hỏ i Hoa có bao nhiêu cách ch i bì thư để g 2) M t bài thi tr c nghi m khách quan g m 5 câu h i, m l i, trong l m t h c sinh làm bài thi tr l c ít nh t 3 câu h i? L i gi i 1) Ch 11 bì thư có 4 11 C cách. Ch n 4 tem thư từ 7 tem thư có 4 7 C cách. Dán 4 tem thư và 4 bì thư vừ a ch n có: 4! cách. G i b n có: 4! Cách. V y có t t c : 4 4 11 7 . .4!.4! 6652800 C C cách. 2) Xác su m t h c sinh tr l 1 4 , tr l i sai 1 câu là 3 4 . Xác su m t h c sinh tr l 3 2 3 5 1 3 45 . 4 4 1024 C .