Đề thi chọn HSG cấp tỉnh lớp 12 THPT năm học 2017 – 2018 môn Toán sở GD và ĐT Hải Dương

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI: TOÁN Th i gian làm bài: 180 phút(không k th i gian giao ) (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1( 2,0 điểm): 1) Cho I 2;1 . Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số 3 3 1 y x mx có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích ΔIAB bằng 8 2 . 2) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho A ở trên bờ biển đến một vị trí B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một vị trí D trên AC để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ADB. Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp nhất, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng. Câu 2 (2,0 điểm): 1) Giải phương trình 3 3 8 tan cot . sin 2 x x x 2) Giải hệ phương trình 3 2 3 3 2 6 13 10 2 2 5 3 10 8 x x x y y x y x y x x y . Câu 3 (2,0 điểm): 1) Cho dãy số ( ) n u có * 1 1 7, 5 12 ( ) n n u u u n . Tìm lim 5 n n u . 2) Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (I) có hai đường kính AB và MN với (1;3), (3; 1) A B . Tiếp tuyến của (I) tại B cắt các đường thẳng AM và AN lần lượt tại E và F. Tìm tọa độ trực tâm H của MEF sao cho H nằm trên đường thẳng : 6 0 d x y và có hoành độ dương. Câu 4 (3,0 điểm): Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC a , 0 0 0 AS 60 , CS 90 , ASC 120 B B . 1) Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a. 2) Gọi I, J, G lần lượt là trung điểm SC, AB, IJ. Mặt phẳng (P) đi qua G cắt các cạnh SA, SB, SC lần lượt tại A’, B’, C’. Gọi . ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' , , A A B C B A B C C A B C V V V lần lượt là thể tích các khối chóp . ' ' ' A A B C , . ' ' ' B A B C , . ' ' ' C A B C . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức . ' ' ' . ' ' ' . ' ' ' A A B C B A B C C A B C P V V V theo a. 3) Gọi M, N là hai điểm thay đổi lần lượt trên cạnh AB và SC sao cho CN AM SC AB . Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng MN. Câu 5 (1,0 điểm): Với các số thực dương , , a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 8 2 8 2 2( ) 5 P a b bc b a c . .............................. HẾT .................................. - Thí sinh không c s d ng tài li u - Giám th không gi i thích gì thêm Họ và tên thí sinh:............................................................ Số báo danh:............................................ Chữ ký của giám thị 1:......................................Chữ ký của giám thị 2:............................................ 6km 9km C B D ASỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẢI DƯƠNG KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2017 – 2018 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 04 tháng 10 năm 2017 (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) ( Câu Nội dung I.1 1) Tìm tất cả các giá trị của m để ( ) m C 3 3 1 y x mx có hai điểm cực trị A, B sao cho diện tích ΔIAB bằng 8 2 với I(2;1). (1,0đ) TXĐ: D= ; ' 2 ' 2 3 3 ; 0 (1) y x m y x m ( ) m C có hai điểm cực trị A, B PT (1) có 2 nghiệm phân biệt 0 m 0,25 Khi đó: ; 2 1 , ; 2 1 A m m m B m m m Phương trình AB: 2 1 y mx hay 2 1 0 mx y Ta có: 2 2 2 4 4 4 4 1 , ; ( 0) 4 1 4 1 m m AB m m d I AB Do m m m 0,25 2 2 1 1 4 . . ; . 4 4 1 . 8 2 2 2 4 1 ABI m S AB d I AB m m m 0,25 4 8 2 2 2 2 ( ) m m m m m TM Kết luận: m = 2 0,25 I.2 2) Một công ty muốn làm một đường ống dẫn dầu từ một kho A ở trên bờ đến một vị trí B trên một hòn đảo. Hòn đảo cách bờ biển 6 km. Gọi C là điểm trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biển. Khoảng cách từ A đến C là 9 km. Người ta cần xác định một vị trí D trên AC để lắp ống dẫn theo đường gấp khúc ADB. Tính khoảng cách AD để số tiền chi phí thấp nhất, biết rằng giá để lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng. (1,0đ) + Đặt CD x km , x [0;9] 2 CD x 36 ; AD 9 x nên chi phí xây dựng đường ống là : 2 T x 260000000 36 100000000(9 ) x x 0,25 + Xét hàm số T(x) trên đoạn [0 ; 9] ta có : 2 13x T '(x) 20000000 5 x 36 T’(x) = 0 2 13x 5 x 36 2 2 168x 25 x 36 2 25 5 x x 4 2 . 0,25 + Lại có T(0) 2460000000 ; 5 T( ) 2340000000 2 ; T(9) 260000000 117 Suy ra T(x) đạt giá trị nhỏ nhất trên đoạn [0 ; 9] bằng 2340000000 khi x = 5 2 . 0,25 + Vậy chi phí lắp đặt thấp nhất bằng 2340000000 5 2 hay điểm D cách A một 0,25 HƯỚNG DẪN CHẤM 6km 9km C B D A