Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2018 – 2019 sở GD và ĐT Hà Nội

Mô tả

1 L I GI I THI CH N H C SINH GI I L P 12, THÀNH PH HÀ N I N M H C 2018-2019 Câu 1: (4 i m) Cho hàm s 2 1 x y x = + có th ( ) C và ng th ng d có ph ng trình y x m = + , m là tham s . Tìm m d c t ( ) C t i hai i m phân bi t A và B sao cho t ng h s góc c a các ti p tuy n v i ( ) C t i A và B là l n nh t. L i gi i T p xác nh 1 \ 2 D = . Ta có o hàm ( ) 2 1 2 1 y x + . Ph ng trình hoành giao i m 2 1 x x m x = + + ( ) ( ) 2 2 2 1 0 g x x m x m = + + + = . Ta có 2 2 2 1 2 1 0, 1 1 0, 2 2 m m m m m g m + + = + > = − nên ng th ng d luôn c t th ( ) C t i hai i m phân bi t A , B v i m i giá tr th c m . G i 1 x , 2 x là hoành c a i m A và B khi ( ) 1 2 S m m P = − + = . Suy ra ( ) ( ) 2 2 1 2 1 1 2 1 2 1 K x x = − + + + ( ) 2 2 4 8 4 2 4 2 1 S P S P S + + = − + + ( ) 2 4 2 2 m = − + . V y t ng h s góc l n nh t c a các ti p tuy n v i ( ) C t i A và B b ng 2 t c khi 0 m = . Câu 2: (5 i m) a) Gi i ph ng trình 2 cos 1 x x = L i gi i Xét hàm s 2 ( ) cos 1 f x x x = + v i x .Ta có '( ) sin 2 f x x x = − + ; ''( ) cos 2 f x x = − + .Vì ''( ) 0 f x > x '( ) f x ng bi n trên . Mà '(0) 0 f = suy ra ph ng trình '( ) 0 f x = có nghi m duy nh t 0 x = . B ng bi n thiên: