Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 9 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Bình Định

Mô tả

BỘ ĐỀ THI HSG BD HSG Toán 9 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH ĐỊNH P 9 Năm học: 2020 2021 Môn: TOÁN Ngày thi: 18/03/2021 Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) -------------------- oOo -------------------- Bài 1. ( 5.0 điểm ) 1. Giải phương trình: 2 2 1 1 2 x x x x . 2. Cho các số thực , , a b c thỏa mãn 2 4 b c a . Chứng minh rằng phương trình: 2 0 ax bx c luôn có nghiệm. Bài 2. ( 6.0 điểm ) 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3 2 2 x y x y x y . 2. Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 100 . Chứng minh rằng có thể chọn ra từ 69 số đó 4 số sao cho trong chúng có 1 số bằng tổng của 3 số còn lại. Bài 3. ( 4.0 điểm ) Cho nửa đường tròn tâm O AB , trên nửa đường tròn O lấy điểm C sao cho cung BC nhỏ hơn cung AC , qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn O cắt AB tại D . Kẻ CH vuông góc với AB H AB , kẻ BK vuông góc với CD K CD ; CH cắt BK tại E . a) Chứng minh BK BD EC . b) Chứng minh . . BH AD AH BD . Bài 4. ( 3.0 điểm ) Cho tam giác ABC vuông cân tại A và M là điểm di động trên BC ( M khác , B C ). Hình chiếu của M lên , AB AC lần lượt là H và K . Gọi I là giao điểm của BK và CH . Chứng minh rằng đường thẳng IM luôn đi qua một điểm cố định. Bài 5. ( 2.0 điểm ) Tìm tất cả các giá trị của x 3 4 4 4 2 4 2 4 6 3 30 x x x x x x x . ---------- HẾT ----------BỘ ĐỀ THI HSG BD HSG Toán 9 GV: Lê Hồng Quốc " Cần cù bù thông minh " Trang 2 HSG TOÁN 9 BÌNH ĐỊNH 2021 Bài 1. ( 5.0 điểm ) 1. Giải phương trình: 2 2 1 1 2 x x x x . 2. Cho các số thực , , a b c thỏa mãn 2 4 b c a . Chứng minh rằng phương trình: 2 0 ax bx c luôn có nghiệm. 1. 2 2 2 1 0 1 0 1 0 x x x x x . Ta có 2 2 2 0 1 0 1 x x x x x vô nghiệm. Do đó có thể biết đổi phương trình như sau: 2 2 2 2 1 1 1 2 1 2 1 x x x x x x x x . Cách 1: 2 2 2 2 2 1 2 1 1 0 1 1 0 x x x x x x 2 2 2 2 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 x x x x x x x x x (thỏa ĐK). Vậy nghiệm của phương trình là 1 x . Cách 2: VT 2 VP . 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 x x x x x x x x x x x (thỏa ĐK). Vậy nghiệm của phương trình là 1 x . 2. Ta có 2 2 2 2 2 2 4 . 2 0 b c b ac b ac b bc c b c a với mọi , b c . Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm. Bài 2. ( 6.0 điểm ) 1. Tìm nghiệm nguyên của phương trình: 3 2 2 x y x y x y . 2. Cho 69 số nguyên dương phân biệt không vượt quá 100 . Chứng minh rằng có thể chọn ra từ 69 số đó 4 số sao cho trong chúng có 1 số bằng tổng của 3 số còn lại. 1. Ta có: 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 0 x y x y x y x y x y xy xy y . 2 2 2 2 2 2 0 2 3 3 0 2 3 3 0 y y y x x y x x y x x y x x . Với 0 y , ta được: 3 3 x x luôn đúng với mọi x . Do đó trong trường hợp này phương trình có vô số nghiệm nguyên ; x y là ;0 k với k . Với 2 2 2 2 3 3 0 y x x y x x , ta có: 2 4 3 2 2 6 9 24 8 1 8 y x x x x x x x x . Trường hợp 1: 1 x khi đó phương trình có nghiệm kép 2 3 4 1 4 4 x x y .