Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2020 – 2021 sở GD&ĐT Nghệ An (Bảng A)

Mô tả

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1a. Cho phương trình ( ) sin cot 2 3 cos x x x = + . Hỏi phương trình đã cho có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng ( ) 0; 2020 L i gi i sin 0 , x x k k . Ta có 2 x k = + không thỏa mãn phương trình đã cho. Xét 2 x k + , phương trình ( ) sin cot 2 3 cos tan cot 2 3 x x x x x = + = + 2 tan 2 3 1 tan 2 3 tan 2 3 tan 1 0 tan tan 2 3 x x x x x x = − + = + = = + 12 5 12 x m x n = + = + (1) vớ i , m n . Xét 1 5 1 (*) 12 12 3 m n m n + = + = + vớ i , m n nên phương trình (*) vô nghiệm. Suy ra các nghiệm của hệ (1) là khác nhau. Do ( ) 0; 2020 x nên ta có 0 2020 12 5 0 2020 12 m n < + < < + < 1 1 2020 12 12 5 5 2020 12 12 m n < < < < Suy ra { } 0;1; 2;...2019 m và { } 0;1; 2;...2019 n . V phương trình đã cho có tất cả 4040 nghiệm. Câu 1b. Cho h phương trình: ( ) ( ) 2 2 2 4 1 3 5 2 0 (1) 4 2 3 4 (2) x x y y x y x m + + = + + = ( , x y , m là tham số). Tìm tất các các giá trị nguyên của tham số m h phương trình có nghiệm. L i gi i 3 4 (*) 5 2 x y Ta có: ( ) ( ) ( ) 3 3 3 (1) 4 3 5 2 (2 ) (2 ) 5 2 5 2 (3) x x y y x x y y + = − + = + Xét hàm số: 3 2 ( ) '( ) 3 1 0, f u u u f u u u = + = + > . Suy ra ( ) f u luôn đồng biến trên ( ) 2 2 0 0 (2 ) 5 2 2 5 2 4 5 2 2 5 4 x x f x f y x y x y y x = = = = Thế vào (2), ta được: 2 2 2 5 4 4 2 3 4 2 x x x m + + =