Đề thi học sinh giỏi Toán 9 năm 2018 – 2019 sở GD&ĐT TP HCM

Mô tả

STAR-EDUCATION 16/2 Trần Thiện Chánh, P.12, Q.10 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ Khóa thi ngày 13/3/2019 Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian phát đề Bài 1. (4 điểm) Cho x, y là các số thực sao cho 2 x 1 y = 1 2 x + y . Tính giá trị của biểu thức x 2 y 2 + y 2 x 2 . Bài 2. (3 điểm) Cho a, b, c là ba số thực sao cho a + b = c 2 và ab = 2 c 2 3 c + 1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P = a 2 + b 2 Bài 3. (3 điểm) An khởi hành từ Sài Gòn đi Biên Hòa. Sau đó 5 phút, Bình và Cường khởi hành từ Biên Hòa về Sài Gòn. Trên đường đi, An gặp Cường ở địa điểm C rồi gặp Bình ở địa điểm D . Tính vận tốc của mỗi người, biết rằng quãng đường Sài Gòn - Biên Hòa dài 39 km CD = 6 km; Vận tốc của An bằng 1,5 lần vận tốc của Bình và bằng 3 4 vận tốc của Cường. Bài 4. (6 điểm) Cho 4 ABC cân tại A , nội tiếp đường tròn ( O ) . Từ B kẻ đường thẳng vuông góc với OC , đường thẳng này cắt AC tại D và cắt ( O ) tại E ( E khác B ). Cho biết AB = 8 cm và BC = 4 cm, tính độ dài các đoạn thẳng DE, OA và OD . Bài 5. (4 điểm) Hộp phô mai có dạng hình trụ, đường kính đáy 12,2 cm và chiều cao 2,4 cm. a) Biết rằng 8 miếng phô mai được xếp sát bên trong hộp và độ dày của giấy gói từng miếng không đáng kể. Hỏi thể tích của một miếng phô mai là bao nhiêu? b) Tính diện tích giấy gói được sử dụng cho một miếng phô mai. (Ghi kết quả gần đúng chính xác đến 1 chữ số thập phân sau dấu phẩy) www.star-education.net - Hotline: 0868.733.730 STAR TEAMSTAR-EDUCATION 16/2 Trần Thiện Chánh, P.12, Q.10 STAR-EDUCATION KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP THÀNH PHỐ Khóa thi ngày 13/3/2019 Môn thi: TOÁN LỜI GIẢI trẻ ở trung tâm “ Star Education”. Bài 1. xy 6 = 0; y 6 = 2 x . Từ giả thiết: 2 x 1 y = 1 2 x + y 2 y x xy = 1 2 x + y (2 y x )(2 x + y ) = xy 4 xy + 2 y 2 2 x 2 xy = xy 2 xy + 2 y 2 2 x 2 = 0 xy + y 2 x 2 = 0( ) . Vì xy 6 = 0 nên chia phương trình ( ) cho xy , ta được: 1 + y x x y = 0 x y y x = 1 ( x y y x ) 2 = 1 x 2 y 2 + y 2 x 2 2 = 1 x 2 y 2 + y 2 x 2 = 3 Bài 2. Ta có: P = a 2 + b 2 = ( a + b ) 2 2 ab . Dùng phương pháp thế, ta được: P = ( c 2) 2 2(2 c 2 3 c + 1) = c 2 4 c + 4 4 c 2 + 6 c 2 = 3 c 2 + 2 c + 2 = 3 ( c 2 2 3 c 2 3 ) = 3 ( c 2 2 c 1 3 + 1 9 7 9 ) = 3 ( c 1 3 ) 2 + 7 3 7 3 . Vậy giá trị lớn nhất của P là 7 3 . Dấu xảy ra c = 1 3 a + b = 5 3 ab = 2 9 Hay a, b là nghiệm của phương trình X 2 SX + P = 0 X 2 + 5 3 X + 2 9 = 0 a = 5 + 17 6 b = 5 17 6 hoặc a = 5 17 6 b = 5 + 17 6 Bài 3. 5 phút = 1 12 giờ. Gọi v A , v B , v C ( v A , v B , v C > 0) lần lượt là vận tốc của An, Bình và Cường. v B = 2 v A 3 v C = 4 v A 3 s ( s > 0) là quãng đường mà An đã đi được khi gặp Cường. Kết hợp với CD = 6 km ta suy ra quãng đường mà An đã đi được khi gặp Bình là 39 ( s + 6) = 33 s . Theo đề, ta có hệ phương trình: s v A 39 s 4 v A 3 = 1 12 s + 6 v A 33 s 2 v A 3 = 1 12 s v A 117 3 s 4 v A = 1 12 s + 6 v A 99 3 s 2 v A = 1 12 www.star-education.net - Hotline: 0868.733.730 STAR TEAM