Đề thi HSG Toán 11 năm 2019 – 2020 trường Nguyễn Quán Nho – Thanh Hóa

Mô tả

1 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT NGUYỄN QUÁN NHO U Tháng 2 HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT NĂM HỌ C 2019-2020 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút ) U Câu 1 U ( 4,0 điểm) 1 ) . Cho hàm số 2 4 3 y x x = + có đồ thị là (P R 1 R ) và hàm số 2 2 3 y x x = + + có đồ thị là (P R 2 R ). Giả sử R 1 R ) tại hai điểm phân biệt A, B và cắt (P R 2 R ) tại hai điểm C, D. Tìm m để 2 AB CD = . 2 ) Giải bất phương trình 2 2 1 2 2 3 1 1. 1 2 1 x x x x x + + + > + U Câu 2 U ( 4,0 điểm) 1 ) Giải p h 4cos3 cos 2cos 4 4cos tan tan 2 0. 2 x x x x x x + + = 2 ) Giải hệ phương trình. ( )( ) 2 2 2 9 2 3 4 7 7 25 19 2 35 7 2 y y y x xy x x y x x y + + + = + + = + U Câu 3 U ( 4,0 điểm) 1 ) Cho các số thực dương , , . x y z Chứng minh rằng 2 2 2 3 2 3 2 3 2 1 1 1 3 . 5 1 4 1 3 1 4 1 3 1 4 1 3 x y z y z z x x y + + + + + + + + + + + + + + 2 ) Cho dãy số ( ) n u xác định n h ( ) 1 1 1 2 3 , 2. 2 2 1 1 n n n u n u u n u = = + Tính tổng của 2019 số hạng đầu tiên của dãy số ( ) n u . U Câu 4 U ( 4,0 điểm) 1 ) Xung quanh bờ ao của gia đình bác Nam trồng 20 cây chuối. Do không còn phù hợp bác muốn thay thế để trồ n g bưởi, lần đầu bác chặt ngẫu nhiên 4 cây. Tính xác suất để trong 4 cây bác Nam chặt không có hai cây nào gần nhau. 2 ) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có ba góc đều nhọn và nội tiếp đường tròn tâm I . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AC , H là hình chiếu vuông góc của C trên BI . Các đường thẳng AC và KH lần lượt có phương trình là 1 0 x y và 2 1 0 x y . Biết điểm B thuộc đường thẳng 5 0 y và điểm I thuộ c 1 0 x . Tìm tọa độ điểm C . U Câu 5 U ( 4,0 điểm) 1. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật 3 AB a và 3 AD a . Cạnh bên 2 SA a và SA vuông góc với mặt đáy ABCD . Gọi , H K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên các cạnh SB và SD . Tính góc giữa đường thẳng AC và mặt phẳng . AHK 2. Cho tứ diện OABC có ba cạnh , , OA OB OC . O Gọi H là hình chiếu vuông góc của O lên mặt phẳng ABC và P là điểm bất kỳ trong tam giác . ABC Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 . PA PB PC PH OA OB OC OH ....................... HẾT .......................2 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA U Tháng 2 HỌC SINH GIỎI LỚP 11 THPT NĂM HỌ C 2019-2020 MÔN: TOÁN (Thời gian làm bài: 180 phút ) CHỌN HSG 2019 - 2020 Câu 1a Xét 2 phương trình: 2 4 3 0 x x m + = (1) và 2 2 3 0 x x m + + = (2) 1 2 1 0 2 2 0 m m m + > > = > 2 2 2 2 1 2 3 4 2 2 1 2 1 2 3 4 3 4 2 2 ( ) 2( ) ( ) 4 2[( ) 4 ] 16 - 4(3 - m)=2[4 - 4(3 - m)] m = 5 AB CD AB CD x x x x x x x x x x x x = = = + = + 2.0 1b (2 điể m) + Điều kiện 0 x + Ta có 2 2 1 3 2 1 2 3 1 2 4 x x x + = + > nên 2 1 2 1 0 x x + < Do đó bất phương trình 2 2 1 2 2 3 1 1 2 1 x x x x x + + + < + 2 2 1 3 1 x x x x x + + < + + 0.5 + Nếu 0 x = thì bất phương trình trở thành 1 1 < (vô lý) + Nếu 0 x > thì bất phương trì nh 1 1 1 1 3 x x x x + + < + + 0,5 + Đặt 1 x t x + = với 2 t , bất phương trình trở thành 1 1 3 t t + < + 13 2 1 3 4 t t < < 0.5 + Với 13 4 t < thì 2 1 13 13 105 13 105 4 12 4 0 4 8 8 x x x x x + + < + < < < + Vậy bất phương trình có nghiệm là 13 105 13 105 8 8 x + < < 0.5 2a (2 điể m) + Với điều kiện cos 1 cos 0 2 cos 0 cos 0 x x x x phương trình tương đương với sin sin 2 4 cos 3 cos 2 cos 4 4 cos 2 0 cos cos 2 x x x x x x x x + + = 0.5 ( ) sin sin cos cos 2 2 2 cos 2 cos 4 2 cos 4 4 cos 1 0 cos cos 2 x x x x x x x x x x + + + + = 0,5