Đề thi HSG Toán 11 năm 2019 cụm trường THPT chuyên DH&ĐB Bắc Bộ

Mô tả

( thi g m 01 trang) KỲ THI HỌC SINH GIỎI CÁC TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHU VỰC DUYÊN HẢI VÀ ĐỒNG BẰNG BẮC BỘ LẦN THỨ XII, NĂM 2019 Th i gian: 180 phút (Không k th i gian giao ) Ngày thi: 20/4/2019 Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số 1 ) ( n n u bị chặn trên và thoả mãn điều kiện 2 1 2 3 . . , 5 5 n n n u u u 1, 2, 3,... n Chứng minh rẳng dãy n u có giới hạn hữu hạn. Câu 2 (4 điểm). Cho A BC có đường tròn nội tiếp I tiếp xúc với , , B C CA AB , , . D E F A song song BC cắt , DE DF lần lượt tại , . M N DMN cắt đường tròn I tại điểm L khác . D a) Chứng minh , , A K L thẳng hàng. b) Tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp tam giác DMN tại , M N cắt E F tại , . U V Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác UVL tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác . DMN Câu 3 (4 điểm). Tìm tất cả các đa thức sao cho với mọi số nguyên dương, phương trình có nghiệm nguyên. Câu 4 (4 điểm). Cho p là số nguyên tố có dạng 12 11 k . Một tập con S của tập {1; 2; 3; ; 2; 1} M p p nếu như tích của tất cả các phần tử của S không nhỏ hơn tích của tất cả các phần tử của \ . M S Ký hiệu S hiệu của hai tích trên. Tìm giá trị nhỏ nhất của số dư khi chia S cho p xét trên mọi tập con tốt của M có chứa đúng 1 2 p phần tử. Câu 5 (4 điểm). Cho đa giác lồi n đỉnh 0 1 1 ... 2 . n A A A n Mỗi cạnh và đường chéo của đa giác màu. Tìm giá trị nhỏ nhất của k. -------------- HẾT -------------- (Thí sinh không c s d ng tài li u và máy tính c m tay Cán b coi thi không gi i thích gì thêm) Họ và tên thí sinh: ...................................................................... Số báo danh: ................................... Câu Nội dung trình bày 1 Cho dãy số 1 ) ( n n u bị chặn trên và thoả mãn điều kiện 2 1 2 3 . . , 5 5 n n n u u u 1, 2, 3,... n Chứng minh rẳng dãy n u có giới hạn hữu hạn. 4,0 Ta có n n n u u u 5 3 5 2 1 2 2 1 1 3 3 , 5 5 n n n n u u u u 1, 2,3,... n (1) n v 1 3 , 5 n n u u 1, 2,3,... n thì từ (1) ta có n n v v 1 , 1, 2,3,... n (2) 1,0 Vì dãy số 1 ) ( n n u bị chặn trên nên tồn tại số M sao cho , n u M 1, 2,3,... n suy ra 3 8 , 5 5 n v M M M 1, 2,3,... n (3) Từ (2) và (3) ta thấy dãy ) ( n v không giảm và bị chặn trên. Do đó, nó là dãy hội tụ. 0,5 a v n lim và 8 5 a b . Ta sẽ chứng minh . lim b u n Thật vậy, vì a v n lim nên 0 nhỏ tùy ý, * 0 N n sao cho , 5 n v a 0 . n n Khi đó, nhờ có đánh giá 1 1 1 3 3 3 8 ( ) ( ) , 5 5 5 5 5 n n n n n n b u b u b u b u b u u ta thu được 1 3 , 5 5 n n u b u b 0 n n 1,0 Từ sự kiện này ta suy ra 0 0 1 3 ; 5 5 n n u b u b 0 0 0 2 2 1 3 3 3 . ; 5 5 5 5 5 n n u u b u b u b .......... 0 0 1 2 3 3 3 3 .... 1 . 5 5 5 5 5 k k k n k u u b u b hay 1,0