Đề thi HSG Toán 6 năm 2020 – 2021 trường THCS Trung Nguyên – Vĩnh Phúc

Mô tả

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN MÔN: TOÁN 6 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề) Ngày kh Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay! Câu 1. ( 5,0 điểm) a) Rút gọn biểu thức: 10.11+50.55+70.77 11.12+55.60+77.84 b) Tìm số tự nhiên x , biết: x x 1 x 2 18 5 .5 .5 1000...0 : 2 c) Tìm hiệu a - b, biết rằng: a = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ 98.99 và b = 1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + 98 2 Câu 2. (3,0 điểm) a) Cho A = 5 + 5 2 +...+ 5 100 . Tìm số tự nhiên n, biết rằng: 4.A + 5 = 5 n b) Tìm tất cả các số tự nhiên n để phân số 7 21 3 18 n n có thể rút gọn được. Câu 3. (5,0 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ nhất biết rằng số đó chia cho 11 dư 6, chia cho 4 dư 1 và chia cho 19 dư 11. b) Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. Hỏi 2016 2018 p là số nguyên tố hay hợp số? c) Tìm số tự nhiên có hai chữ số, biết rằng số đó gấp đôi tích các chữ số của nó. Câu 4. (6,0 điểm) Cho hai góc AOx = 38 0 và BOx =112 0 . Biết rằng AOx và BOx không kề nhau. a) Trong ba tia OA, OB, Ox tia nào nằm giữa hai tia còn lại? Vì sao? b) Tính số đo góc AOB. c) Vẽ tia phân giác OM của góc AOB. Tính số đo góc MOx. d) Nếu AOx = ; BOx = , trong đó 0 0 < + < 180 0 và . Tìm điều kiện liên hệ giữa và MOx theo và . Câu 5. (1,0 điểm) Cho 100 số tự nhiên bất kì. Chứng minh rằng ta có thể chọn được ít nhất 15 số mà hiệu của hai số tùy ý chia hết cho 7. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. 18 chữ số 0PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN 6 NĂM HỌC 2020-2021 Ngày kh Câu Nội dung 1 a Ta có: 10.11+50.55+70.77 11.12+55.60+77.84 = 10.11(1+5.5+7.7) 11.12(1+5.5+7.7) = 5 6 2,0 b Ta có: x x 1 x 2 18 18c/sô0 5 .5 .5 1000...0 : 2 x x 1 x 2 18 18 5 10 : 2 0,5 18 18 3x 3 18 18 10 10 10 10 5 . ... 5 2 2 2 2 0,5 3x 3 18 x = 5 0,5 c Ta có: a = 1.2 + 2.3 + 3.4 + ...+ 98.99 = 1.(1 + 1) + 2.(1 + 2) + 3.(1 + 3) + ... + 98.(1 + 98) 0,25 = 1 + 1 2 + 2 + 2 2 + 3 + 3 2 + ... + 98 + 98 2 0,25 = (1 2 + 2 2 + 3 2 + ... + 98 2 ) + (1 + 2 + 3 + ... + 98) 0,25 = b + (1 + 2 + 3 + ... + 98) 0,25 = b + (1 + 98).98 : 2 = b + 4851 0,25 Vậy a - b = 4851 0,25 2 a Ta có: 5A = 5 2 + 5 3 +...+ 5 101 . 0,5 5A – A = (5 2 + 5 3 +...+ 5 101 ) – (5 + 5 2 +...+ 5 100 ) = 5 101 - 5 0,5 4A + 5 = 5 101 0,25 Lại có: 4.A + 5 = 5 n 5 n = 5 101 . Vậy n = 101 0,25 b Giả sử 18n + 3 và 21n + 7 cùng chia hết cho số nguyên tố d 0,25 Khi đó: 18 n + 3 d và 21n + 7 d 6( 21n + 7) – 7(18n + 3) d 21 d d ; 7} 0,25 +) Nếu d = 3 không xảy ra vì 21n + 7 không chia hết cho 3. 0,25 +) Nếu d = 7 khi đó, để phân số có thể rút gọn được thì: 18n + 3 7 ( vì 21 7 7) n 18n + 3 – 21 7 18(n - 1) 7 mà (18; 7) = 1 n 1 7 n = 7k + 1 ( k N ) 0,5 Vậy để phân số 7 21 3 18 n n có thể rút gọn được thì n = 7k + 1 ( k N ) 0,25