Đề thi HSG Toán 8 năm 2020 – 2021 trường THCS Trung Nguyên – Vĩnh Phúc

Mô tả

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian giao đề) Ngày kh 0/3/2021 Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Câu 1 . (3,0 điểm) a) Cho biểu thức 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x . Tìm giá trị nguyên của x b) Cho x , y , z x + y + z = 0. Tính giá trị của biểu thức: B = 2 2 2 2 2 2 2 ( 2 )( 2 )( 2 ) (2 2 2 3 ) xy z yz x zx y xy yz zx xyz . Câu 2 . (2,5 điểm) a) Giải phương trình nghiệm nguyên: 2 2014 2015 2016 0 x xy x y . b) Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn 2 a + b , 2 b + c , 2 c + a Biết rằng một trong ba số chính phương trên chia hết cho 3. Chứng minh rằng: 3 3 3 P a b b c c a chia hết cho 81. Câu 3. (1,0 điểm) Cho ba số a , b , c thỏa mãn a 4 3 , b 4 3 , c 4 3 và a + b + c = 6. Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c 6 + + a +1 b +1 c +1 5 . Câu 4. (2,5 điểm) Cho O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là AB vẽ tia A x , B y cùng vuông góc với AB. Trên tia A x lấy điểm C (khác A), qua O kẻ đường thẳng vuông góc với OC cắt tia By tại D. a) Chứng minh AB CA = 4BD AB . b) Kẻ OM vuông góc với CD tại M, từ M kẻ MH vuông góc với AB tại H. Chứng minh BC đi qua trung điểm của MH. c) Tìm vị trí điểm C trên tia A x Câu 5. (1,0 điểm) Năm vận động viên mang số 1; 2; 3; 4 và 5 được chia bằng mọi cách thành hai nhóm. Chứng tỏ rằng ở một trong hai nhóm ta luôn có hai vận động viên mà hiệu các số họ mang trùng với một trong các số mà người của nhóm đó mang. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS TRUNG NGUYÊN HDC MÔN: TOÁN 8 NĂM HỌC 2020-2021 Ngày kh 0/3/2021 Hướng dẫn chung : - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày những ý cơ bản, nếu học sinh có cách giải khác mà đúng thì Giám khảo vẫn cho điểm nhưng không vượt quá thang điểm của mỗi ý đó. - Câu 4 hình học, học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì không chấm điểm. - Tổng điểm toàn bài bằng tổng điểm của các câu không làm tròn. Câu Phần Nội dung Thang 1 a. 0 2 x x 0,25 Ta có 2 2 2 2 3 2 2 2 1 2 A 1 2 8 8 4 2 x x x x x x x x x 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( 4) 4(2 ) (2 ) x x x x x x x x x x 0,25 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( 1)( 2) ( 2) 4 ( 1)( 2) 2( 4) ( 4)(2 ) 2( 2)( 4) x x x x x x x x x x x x x x x x x 0,25 3 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 1 ( 4)( 1) 1 . 2( 4) 2 ( 4) 2 x x x x x x x x x x x x x x 0,5 Nhận xét : A nguyên khi x +1 chia hết cho 2 x => 2 x +2 chia hết cho 2 x => 2 chia hết cho 2 x => 2 x là ước của 2 TH1: 2 x = 1 => x = 1 2 (loại). TH2: 2 x = -1 => x =- 1 2 (loại). TH3: 2 x = 2 => x = 1 (thỏa mãn). TH4: 2 x = -2 => x =-1 (thỏa mãn). KL: V x = 1 thì A có giá tr 0,25 0,5 b. Ta có: x + y + z = 0 => x + y = -z. Do đó: 2 2 xy z = 2 ( ) xy z z x y = ( z - x )( z - y ) Tương tự : 2 2 yz x =(x - y)(x - z) 2 2 zx y =(y - z)(y - x) => Tử số của B là : - 2 2 2 ( ) ( ) ( ) x y y z z x 0,5 Hs cm được : 2 2 2 2 2 2 3 xy yz zx xyz =(x-y)(y-z)(z-x) => mẫu số của B là : 2 ( )( )( ) x y y z z x 0,25 V = - 1. 0,25