Hướng dẫn giải các dạng toán giới hạn

Mô tả

CHƯƠNG 4 GIỚI HẠN BÀI 1. GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ Dãy số ( u n ) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu | u n | có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim n + u n = 0 hay lim u n = 0 . VÍ DỤ 1. lim n + 1 n 2 = 0 . Dãy số ( u n ) có giới hạn là a nếu | u n a | có giới hạn bằng 0 . Nghĩa là: lim n + u n = a lim n + ( u n a ) = 0 . VÍ DỤ 2. lim n + 2 n + 1 n + 3 = 2 . 2 CÁC ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN lim 1 n = 0; lim 1 n k = 0 với k là số nguyên dương. lim q n = 0 nếu | q | < 1 . Nếu lim u n = a và lim v n = b thì lim ( u n v n ) = a b , lim ( u n . v n ) = a . b , lim ( u n v n ) = a b (nếu b 6 = 0 ). Nếu u n 0 với mọi n và lim u n = a thì a 0 và lim u n = a . 3 TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN Cấp số nhân vô hạn ( u n ) có công bội q thoả mãn | q | < 1 cấp số nhân lùi vô hạn . Cho cấp số nhân lùi vô hạn ( u n ) , ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là S = u 1 + u 2 + u 3 + ... + u n + ... = u 1 1 q , ( | q | < 1 ) 367368 CHƯƠNG 4. GIỚI HẠN 4 GIỚI HẠN VÔ CỰC Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn + khi n + , nếu u n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi. Kí hiệu: lim u n = + . Ta nói dãy số ( u n ) có giới hạn khi n + , nếu lim ( u n ) = + . Kí hiệu: lim u n = . a) Nếu lim u n = a và lim v n = thì lim u n v n = 0 . b) Nếu lim u n = a > 0, lim v n = 0 và v n > 0 với mọi n thì lim u n v n = + . c) Nếu lim u n = + và lim v n = a > 0 thì lim u n v n = + . B CÁC DẠNG TOÁN { DẠNG 1.1. Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn lim u n = L ta chứng minh lim ( u n L ) = 0 . VÍ DỤ 1. Chứng minh rằng a. lim ( n 3 n 3 + 1 ) = 1 b. lim ( n 2 + 3 n + 2 2 n 2 + n ) = 1 2 . L Lời giải a. Ta có lim ( n 3 n 3 + 1 ( 1 ) ) = lim ( 1 n 3 + 1 ) . Vì 0 1 n 3 + 1 < 1 n 3 , n N . Mà lim 1 n 3 = 0 nên suy ra lim ( 1 n 3 + 1 ) = 0 . Do đó lim ( n 3 n 3 + 1 ) = 1 . b. Ta có lim ( n 2 + 3 n + 2 2 n 2 + n 1 2 ) = lim 5 n + 4 2 ( 2 n 2 + n ) Vì 0 < 5 n + 4 2 ( 2 n 2 + n ) < 5 n + 5 2 n ( n + 1 ) = 5 2 . 1 n , n N . Mà lim ( 5 2. 1 n ) = 5 2. lim 1 n = 0 Nên suy ra lim 5 n + 4 2 ( 2 n 2 + n ) = 0 . Do đó lim ( n 2 + 3 n + 2 2 n 2 + n ) = 1 2 .  VÍ DỤ 2. Chứng minh rằng a. lim ( 3.3 n sin 3 n 3 n ) = 3 b. lim ( n 2 + n n ) = 1 2 . L Lời giải