Hướng dẫn giải các dạng toán vectơ trong không gian, quan hệ vuông góc

Mô tả

CHƯƠNG 3 QUAN HỆ VUÔNG GÓC BÀI 1. VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN A TÓM TẮT LÍ THUYẾT 1 CÁC ĐỊNH NGHĨA 1 Véctơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu và điểm cuối). 2 Véctơ - không là véctơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau. 3 Ký hiệu véctơ: # » AB (điểm đầu là A , điểm cuối là B ) hay #» a , #» b , #» x , #» y , . . . 4 | # » AB | , | #» a | . 5 Giá của véctơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của véctơ đó. 6 Hai véctơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau. 7 Hai véctơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng. 8 Hai véctơ bằng nhau là hai véctơ cùng hướng và có cùng độ dài. Tức là #» a = #» b cùng hướng | #» a | = | #» b | 9 Hai véctơ đối nhau là hai véctơ ngược hướng nhưng vẫn có cùng độ dài. 10 Các phép toán cộng, trừ, nhân véctơ với một số được định nghĩa tương tự trong mặt phẳng. 2 CÁC QUY TẮC TÍNH TOÁN VỚI VÉCTƠ 1 Quy tắc ba điểm (với phép cộng): # » AB + # » BC = # » AC . 2 Quy tắc ba điểm (với phép trừ): # » OB # » OA = # » AB . 3 Quy tắc ba điểm (mở rộng): # AX 1 + # X 1 X 2 + # X 2 X 3 + # X n 1 X n + # X n B = # » AB . 4 Quy tắc hình bình hành: (a) # » AB + # AD = # » AC . (b) # » AB + # AD = 2 # » AE trong đó ABCD là hình bình hành và E là trung điểm của BD . 5 Quy tắc hình hộp: # » AB + # AD + # AA = # AC trong đó ABCD . A B C D là một hình hộp. A B C D A B C D 675676 CHƯƠNG 3. QUAN HỆ VUÔNG GÓC 3 MỘT SỐ HỆ THỨC VÉCTƠ TRỌNG TÂM, CẦN NHỚ 1 I là trung điểm của đoạn thẳng AB # » I A + # » IB = #» 0 # » OA + # » OB = 2 # » OI (với O là một điểm bất kỳ). 2 G là trọng tâm của tam giác ABC # » GA + # » GB + # » GC = #» 0 # » OA + # » OB + # » OC = 3 # » OG # » AG = 2 3 # AM (với O là một điểm bất kỳ, M là trung điểm cạnh BC ). 3 G là trọng tâm của tứ diện ABCD # » GA + # » GB + # » GC + # » GD = #» 0 # » OA + # » OB + # » OC + # OD = 4 # » OG # » AG = 3 4 # AA (với điểm O bất kỳ, A là trọng tâm của BCD ) # GM + # GN = #» 0 (với M , N là trung điểm 1 cặp cạnh đối diện). 4 #» a và #» b 6 = #» 0 cùng phương k R : #» a = k . #» b 5 #» a và #» b 6 = #» 0 cùng hướng k R + : #» a = k . #» b 6 #» a và #» b 6 = #» 0 ngược hướng k R : #» a = k . #» b 7 Ba điểm A , B , C thẳng hàng k R : # » AB = k . # » AC 4 Trong không gian, ba véctơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó. Hệ quả 1. Nếu có một mặt phẳng chứa véctơ này đồng thời song song với giá của hai véctơ kia thì ba véctơ đó đồng phẳng. ( ) Trong không gian cho hai véctơ #» a và #» b không cùng phương và véctơ #» c . Khi đó #» a , #» b và #» c ( m ; n ) sao cho #» c = m #» a + n #» b (cặp số ( m ; n ) nêu trên là duy nhất). 4 ! Bốn điểm phân biệt A , B , C , D # » AB , # » AC , # AD # » AB = m . # » AC + n . # AD . 5 PHÂN TÍCH MỘT VÉCTƠ THEO BA VÉCTƠ KHÔNG ĐỒNG PHẲNG Cho ba véctơ #» a , #» b và #» c không đồng phẳng. Với mọi véctơ #» x , ta đều tìm được duy nhất một bộ số ( m ; n ; p ) sao cho #» x = m . #» a + n . #» b + p . #» c . #» a #» b #» c #» x 6 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉCTƠ 1 Nếu #» a 6 = #» 0 và #» b 6 = #» 0 thì #» a . #» b = | #» a | . #» b . cos ( #» a , #» b ) 2 Nếu #» a = #» 0 hoặc #» b = #» 0 thì #» a . #» b = 0