Một số bài tập mặt cầu ngoại tiếp hình chóp – Nguyễn Thanh Hậu

Mô tả

Nguyễn Thanh Hậu - Phương pháp giải toán hình học không gian Sáng kiến kinh nghiệm 1 P A1 A2 A3 A4 O S H PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TOÁN MẶT CẦU NGOẠI TIẾP HÌNH CHÓP . A. LỜI MỞ ĐẦU Bài toán mặt cầu ngoại tiếp hình chóp xuất hiện nhiều trong các đề kiểm tra, các đề thi vào đại học. Qua thực tế giảng dạy chúng tôi thấy rằng: Nhiều học sinh tỏ ra lúng túng khi gặp các bài toán có liên quan đến mặt cầu. Bài viết này cùng trao đổi với các em và bạn đồng nghiệp một vài kỹ thuật giải toán thông qua các ví dụ về mặt cầu ngoại tiếp hình chóp.Các vấn đề thường gặp liên quan đến bài toán mặt cầu ngoại tiếp hình chóp kiểu như:Chứng minh các ngoại tiếp hình chóp? Hay tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp hay thể tích khối cầu ngoại tiếp khối chóp?.... B. NỘI DUNG I. Cơ sở lí thuyết . 1 A 2 ...A n có mặt cầu ngoại tiếp là đa giác 1 A 2 ...A n phải là đa giác nội tiếp. Chứng minh: 1. Giả sử tồn tại mặt cầu tâm O ngoại tiếp hình chóp SA 1 A 2 ...A n , tức là ta có OS=OA 1 =OA 2 =...=OA n (1) Kẻ OH vuông góc mặt phẳng đáy (A 1 A 2 ...A n ) HA 1 =HA 2 =...=HA n (2) 1 A 2 ...A n là một đa giác nội tiếp.Nguyễn Thanh Hậu - Phương pháp giải toán hình học không gian Sáng kiến kinh nghiệm 2 2. Giả sử A 1 A 2 ...A n là một đa giác nội tiếp. Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp vuông góc (A 1 A 2 ...A n ). Vẽ mặt phẳng trưng trực (P) của một cạnh bất kì của hình chóp ( chẳng hạn cạnh SA 1 ). Do không song song (P) nên giả sử (P) =O Khi đó ta thấy OA 1 =OA 2 =...=OA n , OA 1 =OS. Từ đó suy ra O là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp đa giác SA 1 A 2 ...A n . Chú ý: Từ định lí trên ta rút ra các kết luận sau: Nói riêng mọi hình chóp tam giác (tứ diện), mọi hình chóp đều, đều có mặt cầu ngoại tiếp II. Các phương pháp xác định tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp. Bài toán : Xác định tâm I và tính bán kính R của mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SA 1 A 2 ...A n . Phương pháp 1 : Gọi I là tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SA 1 A 2 ...A n . - Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A 1 A 2 ...A n - Dựng trục của đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy A 1 A 2 ...A n .( là đường thẳng đi qua tâm O đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy và vuông góc với mặt phẳng đáy.) - Vẽ mặt phẳng trung trực (P) của một cạnh bên bất kì của hình chóp. - Giả sử I= (P) khi đó I là tâm mặt cầu ngoại tiếp cần dựng. Lưu ý: a) trong trường hợp sau đây mặt phẳng trung trực có thể thay bằng đường trung trực. + Khi hình chóp đều (vì + Khi hình chóp có một cạnh vuông góc với mặt phẳng đáy b) Có thể phát hiện trục dựa vào tính chất của một số hình chóp đặc biệt rồi chứng minh thay vì dựng . c) Khi dựng mặt phẳng trung trực của cạnh bên nên chọn cạnh bên của hình chóp