Số phức và một số ứng dụng – Nguyễn Tài Chung

Mô tả

1 | Nguyễn Tài Chung - Giáo viên THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai MỤC LỤC 1 Số phức và một vài ứng dụng 1 A Lý thuyết 1 B Ví dụ giải toán 5 C Bài tập 14 1 14 2 Lời giải 16 D Sử dụng số phức chứng minh bất đẳng thức 23 E Sử dụng số phức giải phương trình, hệ phương trình 29 F Hệ lặp sinh bởi các đa thức đối xứng ba biến 36 2 Sử dụng số phức để giải phương trình hàm đa thức 39 BÀI 1. SỐ PHỨC VÀ MỘT VÀI ỨNG DỤNG A. LÝ THUYẾT 1. Một số định nghĩa.  Một số phức z là một biểu thức dạng z = a + bi , trong đó a và b là những số thực và i là số thỏa mãn i 2 = 1 . Số a gọi là phần thực, b gọi là phần ảo của số phức z = a + bi , còn i gọi là đơn vị ảo.  Cho hai số phức z = a + bi và z = a + b i . Khi đó: z = z { a = a b = b .  Tập hợp tất cả các số phức thường được ký hiệu là C . Vậy: C = { a + bi | a , b R } .  Số phức z = a + 0 i có phần ảo bằng 0 a + 0 i = a R C . MỤC LỤC2 | Nguyễn Tài Chung - Giáo viên THPT Chuyên Hùng Vương - Gia Lai  Số phức z = 0 + bi có phần thực bằng 0 và viết là z = bi .  Số 0 = 0 + 0 i = 0 i vừa là số thực vừa là số ảo. 2. Môđun của số phức. Cho số phức z = a + bi , khi đó a 2 + b 2 dài) của z , ký hiệu là | z | . Vậy | z | = a 2 + b 2 . 3. Số phức liên hợp. Cho z = a + bi C , khi đó số phức liên hợp với z là z = a bi . 4. Biểu diễn hình học của số phức. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , mỗi số phức z = a + bi M ( a ; b ) . Ngược lại mỗi điểm M ( a ; b ) biểu diễn một số phức là z = a + bi . Ta còn viết là M ( a + bi ) hay M ( z ) . 5. Các phép toán trên số phức. Cho hai số phức z = a + bi và z = a + b i . Khi đó:  Tổng của hai số phức z và z là: z + z = ( a + a ) + ( b + b ) i .  Số đối của số phức z = a + bi là số phức z = a bi .  Hiệu của hai số phức z và z là: z z = ( a a ) + ( b b ) i .  Tích của hai số phức z và z là: zz = ( aa bb ) + ( ab + a b ) i .  Nghịch đảo của số phức z = a + bi 6 = 0 là: z 1 = 1 a 2 + b 2 ( a bi ) ( = z | z | 2 ) .  Thương của hai số phức z và z 6 = 0 là: z z = z . z 1 = ( a + bi ) ( a a 2 + b 2 b a 2 + b 2 i ) = aa + bb a 2 + b 2 ab a b a 2 + b 2 i .  Lũy thừa của số phức z z 0 = 1, z n = z . z . . . z n chữ z với n N . z n = 1 z n , với z 6 = 0, n = 1, 2, 3, . . .  Căn bậc n ( n N ) của số phức z , kí hiệu n z , là số phức z 1 sao cho z n 1 = z . Chú ý 1. z z = z . z z . z = z . z | z | 2 . Tức là để tìm z z ta chỉ cần nhân tử và mẫu cho số phức liên hợp của z . 6. Tìm căn bậc hai của số phức z . MỤC LỤC