30 bài tập cấp số cộng và cấp số nhân nâng cao – Nguyễn Đình Sỹ

Mô tả

Bài tập bổ sung chươn g III - DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN Sưu tầm : Nguyễn Đình Sỹ BÀI TẬP VỀ DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN I. DÃY SỐ 1. viết số hạng tổng quát của dãy số tự nhiên , mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 3 còn dư 2 . 2. Dãy số n u 1 1 3, 2 n n u u u . Tìm số hạng tổng quát của dãy số đó và tích 4 số hạng đầu của dãy số . 3. Tìm số hạng tổng quát của dãy số xác định bằng công thức quy nạp : a. 1 1 1 3, 2 2 n n u u u b. 1 1 , n n u a u a bu ( Với a,b là hằng số ) 4. Các dãy số sau có đơn điệu không ? a. 2 1 1 n u n b. 2 1 2 n n n u c. 1 2 n n u 5. Với giá trị nào của a,b ,dãy số : 2 1 n an u bn là một dãy số không giảm ,tăng?giảm? 6. Trong các dãy số sau , dãy số nào bị chặn ? B a. 2 1 n u n b. 2 1 n u n c. 1 1 n u n n d. 1 3.2 n n u e. 1 3 n n u 7. Cho dãy số : 1 2 ; n n n n u v n n . Tính : ; . ; n n n n n n u u v u v v II. CẤP SỐ CỘNG . 1. Ba góc của một tam giác vuông lập thành một cấp số cộng . Tìm ba góc đó ? 2. Chứng minh tam giác ABC có ba góc với : cot , cot , cot 2 2 2 A B C theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng thì ba cạnh theo thứ tự đó cũng tạo thành một cấp số cộng ? 3. Số hạng thứ 2 và số hạng thứ 7 của một cấp số cộng có tổng bằng 92, số hạng thứ tư và số hạng thứ 11 có tổng bằng 71 . Tìm 4 số hạng đó ? 4. Một cấp số cộng có 11 số hạng . Tổng các số hạng đó bằng 176 . Hiệu số hạng cuối và số hạng đầu là 30 . Tìm cấp số đó ? 5. Bốn số hạng lập thành một cấp số cộng . Tổng của chúng bằng 22. Tổng các bình phương của chúng bằng 166. Tìm 4 số đó ? 6. Năm số lập thành một cấp số cộng . Biết tổng S , tích P của chúng . Tìm năm số đó 7 . Bốn số nguyên lập thành một cấp số cộng . Tổng của chúng bằng 20, tổng các ngịch đảo của chúng bằng 25 24 . Tìm bốn số đó ? 8. Người ta trồng 3003 cây theo hình một tam giác như sau : hàng thứ nhất có 1 cây , hàng thứ hai có 2 cây, hàng thứ b a có 3 cây , v.v...Hỏi có bao nhiêu hàng ? 9. Xác định cấp số cộng sao cho tổng n số hạng đầu bằng n+1 lần một nửa số hạng thứ n III. CẤP SỐ NHÂN 1. Một cấp số nhân có số hạng thứ nhất 1 2 u , công bội q bằng 3, và 5 số hạng . Tìm số hạng cuối cùng và tổng của 5 số hạng đó ?Bài tập bổ sung và hướng dẫn giải phần : BÀI TẬP TỔNG HỢP Sưu tầm : Nguyễn Đình Sỹ Trang 2 2. Trong một cấp số nhân có 9 số hạng , biết số hạng đầu 1 5 u và số hạng cuối 9 1280 u . Tìm công bội q và tổng S các số hạng ? 3. Tìm số hạng của một cấp số nhân : a. Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3 , số hạng cuối là 243 ? b. Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243 và số hạng cuối là 1 ? c. Trong cấp số nhân , cho q=1/4 , n=6, và S=2730 . Tìm 1 6 , u u . 4. Tìm bốn góc của một tứ giác , biết các góc đó lập thành một cấp số nhân và góc cuối bằng 9 lần góc thứ 2 ? 5 . Tổng ba số hạng của một cấp số nhân là 248 , hiệu của số hạng cuối và số hạng 6 . Chứng minh rằng nếu ba cạnh của một tam giác lập thành một cấp số nhân thì công bội của cấp số đó ắt phải nằm giữa 1 5 1 2 và 1 5 1 2 . 7 . Tính tổng các cạnh của một hình hộp chữ nhật , biết rằng thể tích của chúng bằng 3 a , diện tích toàn phần của nó bằng 2 2 ma và các cạnh lập thành một cấp số nhân ? IV. BÀI TẬP TỔNG HỢP 1 . Giả sử 1 2 1 2 , ,... . .... 1 n n x x x R x x x . Chứng minh 1 2 ... n x x x n 2 . Chứng minh : 2 2 n n n a b a b với : * 0, 0, a b n N 3 . Xét tính bị chặn và tính đơn điệ u của các dãy số sau ? a. 2 1 n n u n b. 1 1 1 sin n n u n 4. Cho một d y số có các số hạng đầu tiên là 1,8,22,43,...... Hiệu của hai số hạng liên tiếp của dãy số đó lập thành một cấp số cộng : 7,14,21..., 7n. số 35351 là số h mấy của cấp số đã cho ? 5 . Cho phương trình : 4 2 3 24 26 0 x x m x n . Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt 1 2 3 , , x x x lập thành một cấp số cộng ? 6. Tìm m để phương trình : 2 4 2 3 5 1 0 x m x m có bốn nghiệm lập thành một cấp số cộng ? 7 . Độ dài các cạnh của một tam giác ABC lập thành một cấp số nhân . Chứng minh rằng tam giác ABC có hai góc không quá 0 60 ? 8. Tìm bốn số hạng đầu của một cấp số nhân , biết tổng ba số hạng đầu bằng 4 16 9 , cộng . 9 . Một cấp số nhân có 5 số hạng , công bội q =1/4 số hạng thứ nhất , tổng của hai số hạng đầu bằng 24 . Tìm cấp số nhân đó ? 10 . Xen v 11 . Tính tổng : S= 2 2 2 1 1 1 2 4 ... 2 2 4 2 n n 12 . Với giá trị nào của a , ta có thể tìm được các giá trị của x để các số :