Bài giảng giới hạn của dãy số

Mô tả

B NG GI I H N C A DÃY S A. LÝ THUY T I. DÃY S CÓ GI I H N 0 . 1. nh nghĩa Ta nói r ng dãy s ( ) n u có gi i h n 0 ( hay có gi i h n là 0 ) n u v i m i s dương nh tùy ý cho trư c, m i s h ng c a dãy s , k t m t s h ng nào đó tr u có giá tr tuy t đ i nh hơn s dương đó. Kí hi u: lim 0 n u = . Nói m t cách ng n g n, lim 0 n u = n u n u có th nh hơn m t s dương bé tùy ý, k t s h ng nào đó tr T nh nghĩa suy ra r ng: a) lim 0 lim 0 n n u u = = . b) Dãy s không đ i ( ) n u , v i 0 n u = , có gi i h n là 0 . c) Dãy s ( ) n u có gi i h n là 0 n u n u có th g n 0 bao nhiêu cũng đư c, mi n là n l n. 2. M t s dãy s có gi i h n 0 nh lí 4.1 Cho hai dãy s ( ) n u và ( ) n v . N u n n u v v i m i n và lim 0 n v = thì lim 0 n u = . STUDY TIP nh lí 4.1 thư ng đư c s d ng đ ch ng minh m t dãy s có gi i h n là 0 . nh lí 4.2 N u 1 q thì lim 0 n q = . Ngư i ta ch ng mình đư c r ng a) 1 lim 0 n = . b) 3 1 lim 0 n = c) 1 lim 0 k n = v i m i s nguyên dương k cho trư c. Trư ng h p đ c bi t : 1 lim 0 n = . d) lim 0 k n n a = v i m i * k và m i 1 a cho trư c. STUDY TIP Cách ghi nh các k t qu bên như sau: Khi t s không đ i, m u s càng l n (d n đ n dương vô c c) thì phân s càng nh (d n v 0 ) II. DÃY S CÓ GI I H N H U H N. 1. Đ nh nghĩa Ta nói r ng dãy s ( ) n u có gi i h n là s th c L n u ( ) lim 0 n u L = . Kí hi u: lim n u L = . Dãy s có gi i h n là m t s th c g i là dãy s có gi i h n h u h n.STUDY TIP a) Dãy số không đổi ( ) n u với n u c = , có giới hạn là c . b) lim n u L = khi và chỉ khi khoảng cách n u L trên trục số thực từ điểm n u L trở nên nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là n n tăng thì các điểm n u chụm lại” quanh điểm L . c) Không phải mọi dãy số đều có giới hạn hữu hạn. 2. M t s nh lí nh lí 4.3 Gi s lim n u L = . Khi đó a) lim n u L = và 3 3 lim n u L = . b) N u 0 n u v i m i n thì 0 L và lim n u L = . nh lí 4.4 Gi s lim n u L = , lim n v M = và c là m t h ng s . Khi đó a) ( ) lim n n u v L M + = + . b) ( ) lim n n u v L M = . c) ( ) lim n n u v LM = . D) ( ) lim n cu cL = . e) lim n n u L v M = (n u 0 M ). 3. T ng c a c p s nhân lùi vô h n nh nghĩa C p s nhân lùi vô h n là c p s nhân có công b i q th a 1 q . Công th c tính t ng c a c p s nhân lùi vô h n: 2 1 1 1 1 ... 1 u S u u q u q q = + + + = III. DÃY S CÓ GI I H N VÔ C C. 1. Dãy s có gi i h n + Ta nói r ng dãy s ( ) n u có gi i h n + n u v i m i s dương tùy ý cho trư c, m i s h ng c a dãy s , k t m t s h ng nào đó tr u l n hơn s dương đó. Kí hi u: lim n u = + . Nói m t cách ng n g n, lim n u = + n u n u có th l n hơn m t s dương l n tùy ý, k t s h ng nào đó tr Ngư i ta ch ng minh đư c r ng: a) lim n u = + . b) 3 lim n u = + c) lim k n = + v i m t s nguyên dương k cho trư c. Trư ng h p đ c bi t : lim n = + . d) lim n q = + n u 1 q . 2. Dãy s có gi i h n Ta nói r ng dãy s ( ) n u có gi i h n n u v i m i s c, m i s h ng c a dãy s , k t m t s h ng nào đó tr u nh hơn s Kí hi u: lim n u = − .