Bài tập đạo hàm – Trần Sĩ Tùng

Mô tả

Tr n S Tùng i s 11 Trang 71 1. nh ngh a o hàm t i m t i m Cho hàm s y = f(x) xác nh trên kho ng (a; b) và x 0 (a; b): x x f x f x f x x x 0 0 0 0 ( ) ( ) '( ) lim - = - = x y x 0 lim D D D ( D x = x – x 0 , D y = f(x 0 + D x) – f(x 0 )) N u hàm s y = f(x) có o hàm t i x 0 thì nó liên t c t i i m 2. Ý ngh a c a o hàm a hình h c : + f (x 0 ) là h s góc c a ti p tuy n c a th hàm s y = f(x) t i ( ) M x f x 0 0 ; ( ) . + Khi ng trình ti p tuy n c a th hàm s y = f(x) t i ( ) M x y 0 0 ; là: y – y 0 = f (x 0 ).(x – x 0 ) a v t lí: + V n t c t c th i c a chuy n ng th ng xác nh b i ph ng trình s = s(t) t i th i i m t 0 là v(t 0 ) = s (t 0 ). + C ng t c th i c a i n l ng Q = Q(t) t i th i i m t 0 là I(t 0 ) = Q (t 0 ) . 3. Qui t c tính o hàm (C) = 0 ( x ) = 1 ( x n ) = n. x n–1 n N n 1 ̃ > ̄ ( ) x x 1 2 u v u v ( ) = uv u v v u ( ) = + u u v v u v v 2 - = ̃ ̄ ( v 0) ku ku ( ) = v v v 2 1 = - ̃ ̄ o hàm c a hàm s h p: N u u = g(x) có o hàm t i x là u x và hàm s y = f(u) có o hàm t i u là y u thì hàm s h p y = f(g(x) có o hàm t i x là: x u x y y u . = 4. o hàm c a hàm s l ng giác x x x 0 sin lim 1 = ; x x u x u x 0 sin ( ) lim 1 ( ) = (v i x x u x 0 lim ( ) 0 = ) (sin x ) = cos x (cos x ) = – sin x ( ) x x 2 1 tan cos ( ) x x 2 1 cot sin 5. Vi phân dy df x f x x ( ) ( ). D = = f x x f x f x x 0 0 0 ( ) ( ) ( ). D D + + 6. o hàm c p cao [ ] f x f x ''( ) '( ) = ; [ ] f x f x '''( ) ''( ) = ; n n f x f x ( ) ( 1) ( ) ( ) - ̆ = ̊ (n N, n 4) a c h c: Gia t c t c th i c a chuy n ng s = f(t) t i th i i m t 0 là a(t 0 ) = f (t 0 ). CH NG V O HÀM i s 11 Tr n S Tùng Trang 72 V N 1: Tính o hàm b ng nh ngh a tính o hàm c a hàm s y = f(x) t i i m x 0 b ng nh ngh a ta th c hi n các b c: B1: Gi s D x là s gia c a i s t i x 0 . Tính D y = f(x 0 + D x) – f(x 0 ). B2: Tính x y x 0 lim D D D . Baøi 1: Dùng nh ngh a tính o hàm c a các hàm s sau t i i m c ch ra: a) y f x x x 2 ( ) 2 2 = = - + t i x 0 1 = b) y f x x ( ) 3 2 = = - t i x 0 = –3 c) x y f x x 2 1 ( ) 1 + = = - t i x 0 = 2 d) y f x x ( ) sin = = t i x 0 = 6 p e) y f x x 3 ( ) = = t i x 0 = 1 f) x x y f x x 2 1 ( ) 1 + + = = - t i x 0 = 0 Baøi 2: Dùng nh ngh a tính o hàm c a các hàm s sau: a) f x x x 2 ( ) 3 1 = - + b) f x x x 3 ( ) 2 = - c) f x x x ( ) 1, ( 1) = + > - d) f x x 1 ( ) 2 3 = - e) f x x ( ) sin = f) f x x 1 ( ) cos = V N 2: Tính o hàm b ng công th c tính o hàm c a hàm s y = f(x) b ng công th c ta s d ng các qui t c tính o hàm. Chú ý qui t c tính o hàm c a hàm s h p. Baøi 1: Tính o hàm c a các hàm s sau: a) y x x x 4 3 1 2 2 5 3 = - + - b) y x x x x 2 3 2 . 3 = - + c) y x x 3 2 ( 2)(1 ) = - - d) y x x x 2 2 2 ( 1)( 4)( 9) = - - - e) y x x x 2 ( 3 )(2 ) = + - f) ( ) y x x 1 1 1 = + - ̃ ̄ g) y x 3 2 1 = + h) x y x 2 1 1 3 + = - i) x x y x x 2 2 1 1 + - = - + k) x x y x 2 3 3 1 - + = - l) x x y x 2 2 4 1 3 - + = - m) x y x x 2 2 2 2 3 = - - Baøi 2: Tính o hàm c a các hàm s sau: a) y x x 2 4 ( 1) = + + b) y x 2 5 (1 2 ) = - c) 3 2 11 ( 2 1) = - + y x x d) 2 5 ( 2 ) = - y x x e) ( ) y x 4 2 3 2 = - f) y x x 2 2 1 ( 2 5) = - + g) x y x 2 3 ( 1) ( 1) + = - h) x y x 3 2 1 1 + = ̃ - ̄ i) 3 2 3 2 = - ̃ ̄ y x Baøi 3: Tính o hàm c a các hàm s sau: a) y x x 2 2 5 2 = - + b) y x x 3 2 = - + c) y x x = + d) y x x 2 ( 2) 3 = - + e) y x 3 ( 2) = - f) ( ) y x 3 1 1 2 = + -