Chuyên đề quy nạp toán học, dãy số, cấp số cộng và cấp số nhân – Nguyễn Bảo Vương

Mô tả

Tμi liÖu to ̧n 11 n ̈m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 1 B. CÁC D 1. caùc ví duï minh hoïa Ví d 1. Ch ng mình v i m i s t nhiên n 1 ta luôn có: + + + + + = n(n 1) 1 2 3 ... n 2 Ví d 2. Ch ng minh v i m i s t nhiên n 1 ta luôn có: + + + + = 2 1 3 5 ... 2n 1 n Ví d 3. Ch ng minh r ng v i n 1 , ta có b ng th c: ( ) < + 1.3.5... 2n 1 1 2.4.6.2n 2n 1 Ví d 4. Ch ng minh r ng v i > n 1, x 0 ta có b ng th c: + + + + + 2n 1 n n 1 n x (x 1) x 1 2 x 1 . Đẳ ng th c x y ra khi nào? Chú ý: Trong m t s trườ ng h ch ng minh m P(n) i m i s t nhiên n ta có th ch ng minh theo cách sau Bướ c 1: Ta ch ng minh P(n) i = n 1 và = k n 2 Bướ c 2: Gi s P(n) i = + n k 1 , ta ch ng minh P(n) i = n k . Cách ch c g i là quy n p theo ki u Cauchy (Cô si). 1i. Baøi taäp töï luaän töï luyeän Bài 1 Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n 1 , ta luôn có 1. PHƯƠNG PHÁP QUY N P TOÁN H C N i dung phương pháp quy n Cho là m t s nguyên dương và là m t m có nghĩa vớ i m i s t nhiên . N u (1) là đúng và (2) N u cũng đúng vớ i m i s t nhiên ; thì m P(n) đúng vớ i m i s t nhiên . Khi ta b t g p bài toán: Ch ng minh m i m i s t nhiên ta có th s d sau Bướ c 1: Ki m tra có đúng hay không. Nếu bước này đúng thì ta chuyển qua bướ c hai Bướ c 2: V i , gi s n ch ng minh cũng đúng. K t lu n: i . Lưu ý: Bướ c 2 g c quy n p, m i là gi thi t quy n p. A. TÓM T C LÝ THUY T Phương pháp . Phương pháp: Gi s c n ch ng th c (ho c ) đúng vớ i ta th c hi c sau: Bướ c 1: Tính r i ch ng minh Bướ c 2: Gi s , ta c n ch ng minh . V n đ 1. Dùng quy n p đ ch ng minh đ ng th c. B t đ ng th cTμi liÖu to ̧n 11 n ̈m häc 2018 Gi¶ng d¹y: nguyÔn b¶o v¬ng - 0946798489 Page | 2 1. + + + + + + = 2 2 2 2 n(n 1)(2n 1) 1 2 ... (n 1) n 6 2. + + + + = 2 n n 1 2 n 3 2n 3 ... 3 4 3 3 4.3 Bài 2 Ch ng th c sau 1 . ( )( ) + + + + + + = n n 1 n 2 1.2 2.3 ... n(n 1) 3 v i n 1 2. ( )( ) + + + + = + + 1 1 1 1 n ... 1.5 5.9 9.13 4n 1 4n 3 4n 1 3. ( ) + + + + + =  3 3 3 3 2 n n 1 1 2 3 ... n 2 4. ( ) + = 2 4 4 4 4 1 2n 1 1 1 ... 1 1 9 25 1 2n 2n 1 5. + + + = + + 1 1 1 n ... 1.2 2.3 n(n 1) n 1 6. + + + + + = 2 2 2 2 2 n(n 1)(3n 2) 1.2 2.3 3.4 ... (n 1).n , n 2 12 7. + + + + + = 2 2 2 2n(n 1)(2n 1) 2 4 ... (2n) 3 8. + + + + + + + + = n(n 1)(n 2)(n 3) 1.2.3 2.3.4 ... n(n 1)(n 2) 4 V i m i n * . 9. + + + + + = 2 2 2 2 2 n(n 1)(3n 2) 1.2 2.3 3.4 ... (n 1).n 12 v i n 2 . 10. + + + + = + + + + 1 1 1 n(n 3) ... 1.2.3 2.3.4 n(n 1)(n 2) 4(n 1)(n 2) Với mọi n * . Bài 3 1. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n 1 ta có: + + + + + + = n 1 2 2 2 ... 2 2 2 cos 2 (n d 2. Ch ng th c + + + = nx (n 1)x sin sin 2 2 sin x sin 2x ...sin nx x sin 2 v i x k2 v i n 1 . Bài 4 Ch ng minh r ng v i m i n 1 ta có b ng th c: sin nx n sin x x Bài 5 1. Ch ng minh r ng v i m i s t nhiên n 1 , ta có : + < n 1 1 3 n 2. > + n 3 3n 1 v i m i s t nhiên n 2 ; 3. ( ) > + 2.4.6.2n 2n 1 1.3.5... 2n 1 v i m i s t nhiên n 1 ; Bài 6 Cho hàm s f xác đị nh v i m i x và tho mãn điề u ki n : + f(x y) f(x).f(y), x, y (*). Ch ng minh r ng v i m i s th c x và m i s t nhiên n ta có : ( ) 2n n x f x f 2 Bài 7 Ch ng minh các b ng th c sau 1. + + + + < 2 1 1 1 1 1 ... 2 4 9 n n n 2 2. < + + + 1 1 1 n 1 .... 2 n 2 3 n 3. tan n n tan v i ( ) < α < 0 4 n 1 4. > + n 2 2n 1 n 3 5. + > + n 2 * 2 2n 5, ( n ) 6. > + n 1 * 3 n(n 2); ( n , n 4) 7. > n 3 * 2 3n 1; ( n , n 8) 8. + + (n 1)cos n cos 1 n 1 n v i n 1 9. + < + + 1 3 5 2n 1 1 . . .... 2 4 6 2n 2 3n 4 10. + + + + < * n 1 1 1 1 ... n ;( n , n 2) 2 3 2 1 .