Chuyên đề thực hiện dãy tính và tính nhanh

Mô tả

CHUYÊN Đ . TH C HI N DÃY TÍNH TÍNH NHANH A/ KI N TH C C N NH V i bài toán th c hi n phép tính trong các kì thi h c sinh gi i, đòi h i h c sinh ph i nhanh nh y trong vi c ph i h p nhi u phép tinh như: phép tính lũy th a, phép tính c ng tr các phân s , t i gi n phân s , r i tính t ng theo quy lu t...th t th c hi n phép tính KI N TH C B TR : 1/ Công th c tính lũy th a c a s t nhiên: a m .a n = a m+n (a.b) m = a m .b m (a m ) n = a m.n ( ) m m n a a b 0 b b = hay (a : b) m = a m : b m 2/ M t s công th c đ t th a s chung a.b + a.c + a.d + .....+ a. k = a.(b + c + d + ... + k) 1 2 n 1 2 n a a a 1 1 1 ... a. ... x x x x x x + + + = + + + 4/ M t s công th c tính t ng. a) T ng các s h ng cách đ u : S = a 1 + a 2 + a 3 + .... + a n (1) Với a 2 a 1 = a 3 a 2 = ... = a n a n - 1 = d (các số hạng cách đều) Số số hạng trong tổng là n = ( ) n 1 a a : d 1 + a 1 là số hạng thứ nhất a n là số hạng thứ n Tổng S = n.(a 1 + a n ) : 2 Số hạng thứ n của dãy là a n = a 1 + (n 1).d b) Tổng có dạng: S = 1 + a + a 2 + a 3 + ....+ a n (2 ) B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a ta được. a.S = a + a 2 + a 3 + a 4 + ....+ a n + 1 (3 ) B2: Lấy (3) trừ (2 ) vế theo vế được: a.S S = a n + 1 1 => n 1 a 1 S a 1 + = c) Tổng có dạng: S = 1 + a 2 + a 4 + a 6 + ....+ a 2n (4 ) B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a 2 ta được. a 2 .S = a 2 + a 4 + a 6 + a 8 + ....+ a 2n + 2 (5 ) B2: Lấy (5) trừ (4 ) vế theo vế được:a 2 .S S = a 2n + 2 1 => 2n 2 2 a 1 S a 1 + = d) Tổng có dạng: S = a + a 3 + a 5 + a 7 + ....+ a 2n + 1 (6 ) B1: Nhân vào hai vế của đẳng thức với số a 2 ta được. a 2 .S = a 3 + a 5 + a 7 + a 9 + ....+ a 2n + 3 (7 ) B2: Lấy (7) trừ (6 ) vế theo vế được: a 2 .S S = a 2n + 3 a => 2n 2 2 a a S a 1 + = d) Tổng có dạng: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ....+ (n 1). n (8 ) Vì khoảng cách giữa 2 thừa số trong mỗi số hạng bằng 1 => Nhân vào hai vế của đẳng thức (8) với 3 lần khoảng cách (nhân với 3) ta được. 3.S = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + 4.5.3+ ....+ (n 2).(n 1) .3+ (n - 1).n.3 = 1.2.3 + 2.3.(4 1) + 3.4.(5 2) + .... + (n 2).(n 1).[n (n 3)] + (n - 1).n.[(n + 1) (n 2)] = (n 1).n.(n + 1) ( ) ( ) n – 1 .n. n 1 S 3 + = e) Tổng có dạng: P = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + n 2 (9) là: S = 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ....+ n(n+1) S = 1.(1 + 1) +2 (2 +1 ) + 3(3 + 1) + 4(4 + 1) +...+ n(n + 1) = (1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 + ... + n 2 ) + (1 + 2 + 3 + .... + n) = P + (1 + 2 + 3 + .... + n) P = S - (1 + 2 + 3 + .... + n) Trong đó theo (8) thì S = ( )( ) n. n + 1 n 2 3 + Theo (1) thì (1 + 2 + 3 + .... + n) = n(n 1) 2 + P = ( ) n(n 1) 2n 1 6 + + f) Tổng có dạng: S = 1 2 + 3 2 + 5 2 + ...+ (k - 1 ) 2 (10) với k chẵn và k N - 2)(k - 1) + (k 1). k = 0.1 + 1.2 + 2.3 + 3.4 + 4.5 + ....+ (k - 2)(k - 1) + (k 1). k = 1(0 + 2) + 3(2 + 4) + 5(4 + 6) + ...+ (k 1). [(k 2) + k] = 1.2 + 3. 6 + 5.10 +...+ (k - 1).(2k 2) = 1.1.2 + 3.3.2 + 5.5.2 +...+ (k 1).(k 1).2