Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 – 2019 sở GD và ĐT Bình Thuận (Vòng 1)

Mô tả

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH THUẬN ( ) KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018 – 2019 Ngày thi: 18/10/2018 Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1 ( 6,0 điểm ). a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2 0. x y Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 2 2 . x xy y P x xy y b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m thị hàm số 3 2 3 3 y x x mx m có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành. Bài 2 ( 5,0 điểm ). a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số n u biết 1 2 u và 1 2 5, n n u u * . n b) Cho dãy số n v thỏa mãn 1 1 , 2018 v 1 2 2 , 1 2018 n n n v v v * . n Chứng minh rằng * 1 , . n n v v n Bài 3 ( 4,0 điểm ). Giải hệ phương trình 2 2 2 2 2 2 2 1 . 1 1 xy x y x y x y y x x y x Bài 4 ( 5,0 điểm ). Cho tam giác ABC nhọn có AB AC và hai đường cao , BE CF cắt nhau tại . H Các đường tròn 1 , O 2 O cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với BC tại , . B C Gọi D là giao điểm thứ hai của 1 O và 2 . O a) Chứng minh đường thẳng AD ; BC b) Chứng minh ba đường thẳng , EF , BC HD -------------- HẾT ------------- Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . .HƯỚNG DẪN CHẤM Bài Nội dung 1 6,0 a Ta có 2 2 1 , 1 t t P t t với 1 . 2 x t y Xét hàm số 2 2 1 ( ) 1 t t f t t t với 1 . 2 t Tính được 2 2 2 2 2 (t) , ( 1) t f t t ( ) 0 1. 1 2 f t t t Bảng biến thiên Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng 1 3 , không có giá trị lớn nhất. 0,5 0,5 1,0 0,5 0,5 b Tập xác định D 2 ' 3 6 3 y x x m Yêu cầu bài toán Phương trình ' 0 y có hai nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 1 2 . 0. y x y x Phương trình 0 y có hai nghiệm phân biệt 1 0 m (*) Khi thị hàm số cho có hai cực trị là 1 1 2 2 ; , ; . A x y B x y Ta có 1 . 2 1 3 3 x y y m x Do đó 1 1 1 2 1 y y x m x 2 2 2 2 1 y y x m x 2 1 2 1 2 . 0 4 1 . 0 y x y x m x x 1 2 . 0 0 0 x x m m Kết hợp với điều kiện (*) ta có 0 m thỏa mãn bài toán 0,25 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,5 0,5 0,25 2 5,0 a * , n ta có 1 1 2 5 5 2 5 n n n n u u u u * 5, . n n w u n Khi đó * 1 2 , . n n w w n Do đó n w là cấp số nhân có 1 1 5 7, w u công bội 2. q Suy ra 1 1 * 1 . 7.2 , . n n n w w q n Vậy 1 * 7.2 5, . n n u n 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 b Chứng minh được * 0, . n v n Khi đó * 1 2 2 2 1 , . 1 2108 2 2018. 2018 n n n n n v v v n v v (1) Mặt khác, * , n ta có 2 3 1 2 2 2 1 2018 2 2018 0 1 2018 1 2018 1 2018 n n n n n n n n n n n v v v v v v v v v v v 0,5 1,0 1,0