Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 – 2020 sở GD&ĐT Ninh Bình

Mô tả

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH NĂM HỌC 2019 - 2020 MÔN: TOÁN Ngày thi: 11/09/2019 Thời gian làm bài: 180 phút – không kể thời gian phát đề Câu 1. (5.0 điểm) Tìm , , x y z nguyên thỏa mãn hệ phương trình: 3 2 3 2 3 2 4 16 60 4 16 60 4 16 60 x x x y y y y z z z z x Câu 2. (5.0 điểm) Xét phương trình: 2 1 n x x x , n , 2. n a) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n lớn hơn 2 phương trình trên có đúng một nghiệm dương duy nhất. b) Gọi n x là nghiệm dương duy nhất của phương trình trên. Tính lim . n x Câu 3. (5.0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AD ( D thuộc BC ) và hai điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC . Điểm P chuyển động trên đoạn thẳng MN . Lấy các điểm E, F sao cho EP AC , EC BC , FP AB , . FB BC a) Gọi I là giao của EF và AD . Chứng minh rằng I cố định khi P chuyển động trên đoạn MN . b) Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại Q . Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng BC PQ . Câu 4. (5.0 điểm) Cho số nguyên dương n và tập hợp 1;2;...; S n . Tìm số các tập con của S không chứa hai số nguyên dương liên tiếp. ---------- HẾT ----------